观念
自旋群 $\mathrm{Spin}_n$ 是 $\mathrm{SO}_n$ 的非平凡二重覆叠.
自旋群可描述费米子的对称性.
参见自旋表示.
性质
巧合同构
$$
\operatorname{Spin}(1)= O(1),
$$
$$
\operatorname{Spin}(2)=U(1)=SO(2),
$$
$$
\underset{B_1}{\operatorname{Spin}(3)}=\underset{C_1}{\mathrm{Sp}(1)}= \underset{A_1}{SU(2)},
$$
$$
\underset{D_2}{\operatorname{Spin}(4)}=\underset{A_1}{SU(2)}\times \underset{A_1}{SU(2)},
$$
$$\underset{B_2}{\operatorname{Spin}(5)}=\underset{C_2}{\mathrm{Sp}(2)},$$
$$
\operatorname{Spin}(6)=SU(4).
$$
四维情形
欧氏和 Minkowski 情形的 $4$ 维流形的结构群分别有二重覆盖
$$
\widetilde {SO(4)} = SU(2) \times SU(2) = \operatorname{Spin}(4),
$$
$$
\widetilde {SO_o(1,3)}= SL(2,\mathbb{C})=\operatorname{Spin}(3,1).
$$
其中有 $SL(2,\mathbb{C})$ 的表示
$$
\mathbb{R}^{1,3}\otimes \mathbb{C} \simeq \mathbb{C}^2 \otimes \overline{\mathbb{C}^2}.
$$
Minkowski 时空中的类光方向 (null direction) 可对应于 $S^2$, 或 $\mathbb{C}P^1$. 采用 $\mathbb{C}P^1$ 上的齐次坐标 $\zeta=\xi / \eta$, $SL_2(\mathbb{C})$ 在 $\xi,\eta$ 上的作用相当于在类光方向上的作用, 从而给出了二重覆盖
$$
SL_2(\mathbb{C})\to SO^+(1,3).
$$
$$
\begin{pmatrix}
\xi\\ \eta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\overline{\xi}&\overline{\eta}
\end{pmatrix}
$$
将 $\mathbb{R}^4$ 等同于 $2$ 阶 Hermite 矩阵的空间 $H$,
$$
x=(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 \quad\mapsto\quad X=\begin{pmatrix} x_0+x_1 & x_2+ix_3 \\ x_2-ix_3 & x_0-x_1 \end{pmatrix}\in H.
$$
注意到 $\det X= x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2$ 是 Minkowski 范数.
考虑 $SL_2(\mathbb{C})$ 在 $H$ 上的作用, 对于 $A\in SL_2(\mathbb{C}), X\in H$ 定义
$$
A\cdot X := AXA^*,
$$
其中 $A^*$ 是 $A$ 的共轭转置. 注意到 $\det(AXA^*)=\det(X)$, 即这个作用保持 Minkowski 范数的, 于是定义了同态 $SL_2(\mathbb{C}) \to O(1,3)$. 又因为 $SL_2(\mathbb{C})$ 连通, 故这个群同态的像包含在连通分支 $SO^+(1,3)$ 中.