观念
辫群是平面上若干个点的构形的自同构.
定义
对于自然数 $n$, 辫群 $\mathrm{Br}_n$ 是 $\mathbb R^2$ 上 $n$ 个点的无序构形空间的基本群.
性质
表现
辫群 $\mathrm{Br}_n$ 具有如下表现:
- 生成元 $s_i$ ($i=1,\cdots,n$),
- 关系 $s_is_js_i = s_js_is_j$ ($|i-j|=1$), $s_is_j=s_js_i$ ($|i-j|\geq 2$).
Artin 作用
由于平面去掉 $n$ 个点的基本群为自由群 $F_n$, 而辫群 $\mathrm{Br}_n$ 作用于这一空间, 故 $\mathrm{Br}_n$ 也作用于群 $F_n$, 这称为 Artin 作用. 通过生成元表现这一作用即
- $s_i(x_i)=x_i x_{i+1} x_i^{-1}$,
- $s_i(x_{i+1})=x_i$,
- $s_i(x_j)=x_j$ ($j\neq i,i+1$).