Wiki. 相对同伦群 [相对同伦群]
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观念
定义
一般定义
意象 $\mathcal C$ 中的映射 $A\to X$ 的相对同伦群是其作为 $X$ 的俯意象的对象的同伦群 $$ \pi_n(A\to X) \in \mathcal (\mathcal C_{/X})_{/A} = \mathcal C_{/A}. $$ 对于 $A$ 的点 $a\colon 1\to A$, 定义 $a$ 处的相对同伦群 $$ \pi_n(A\to X, a) := a^*\pi_n(A\to X). $$
传统
设 $(X,A)$ 为空间偶, $A$ 带有基点 $x_0$. 设 $n$ 为正整数.
定义相对同伦群 $\pi_n(X,A,x_0)$ 的元素为映射 $(I^n,\partial I^n,J^{n-1}) \to (X,A,x_0)$ 的同伦类, 其中 $J^{n-1}$ 是 $\partial I^n$ 去掉一个面 (“开口的盒子”).
另一种等价的定义是, $\pi_n(X,A,x_0)$ 的元素为映射 $(D^n,S^{n-1},s_0) \to (X,A,x_0)$ 的同伦类.
对于 $n\geq 2$, 定义 $\pi_n(X,A,x_0)$ 的群运算如下. 设 $[f],[g] \in\pi_n(X,A,x_0)$ 分别由映射 $f,g \colon (I^n,\partial I^n,J^{n-1}) \to (X,A,x_0)$ 代表. 设 $J^{n-1}$ 是 $\partial I^n$ 去掉了对应于 $x_n=1$ 的面. 定义 $f\cdot g$ 为映射 $$ (x_1,\cdots,x_n)\mapsto\begin{cases} f(2x_1,x_2,\cdots,x_n) & x_1<1/2;\\ f(2x_1-1,x_2,\cdots,x_n) & x_1\geq 1/2.\\ \end{cases} $$ 这个映射的同伦类不依赖于代表元 $f,g$ 的选取.
性质
零元
映射 $(D^n,S^{n-1},s_0) \to (X,A,x_0)$ 代表相对同伦群的零元的充要条件是它可相对于 $S^{n-1}$ 同伦到 $A$ 中.
交换性
对于 $n\geq 3$, $\pi_n(X,A,x_0)$ 是交换群.
长正合列
三元组
对三元组 $(X,A,B,x_0)$ 有相对同伦群的长正合列 $$ \cdots\to \pi_n(A,B,x_0) \to \pi_n(X,B,x_0) \to \pi_n(X,A,x_0) \to \pi_{n-1}(A,B,x_0) \to\cdots. $$