代数拓扑的现代语言 [AT]
代数拓扑的现代语言 [AT]
按照 Hatcher 的目录用现代语言讲述的代数拓扑. 注意:
- 这不是针对初学者的教程, 仅供熟悉生象语言的读者查阅.
- 生象语言在本书中并非全能. 有些内容 “本质” 属于拓扑空间范畴, 而不能直接用生象语言解释.
第 0 章. 基本概念
同伦与同伦型
所谓同伦就是生象中的等式. 一个拓扑空间的同伦型就是其表现的生象.
胞腔复形
胞腔复形又叫 CW 复形, 是带有一个滤过 $$ X_0 \to X_1 \to X_2\to \cdots $$ 的生象, 其逐项余纤维为球面束 (球面的一点并).
生象的操作
第 1 章. 基本群
带基点生象 $(X,x_0)$ 的基本群 $\pi_1(X,x_0)$ 是环路空间 $\Omega(X,x_0)$ 的 $0$-截断.
1.1 基本构造
对于等式 $h\colon x_0 = x_1$, 有换基点同态 $$ \pi_1 (X,x_0) \overset{\simeq}{\to}\pi_1(X,x_1),\,[f]\mapsto [h \cdot f \cdot \bar h]. $$
圆圈的基本群
$S^1$ 的基本群是无限循环群 $\mathbb{Z}$.
这里原书讲了基本群的应用, Brouwer 不动点定理和 Borsuk–Ulam 定理. 这两个定理不能直接用生象语言解释.
诱导同态
带基点生象的映射 $\varphi\colon (X,x_0)\to (Y,y_0)$ 诱导基本群的同态 $\pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0)$. 这说的是基本群的函子性.
这里原书证明了 $\pi_1(S^n) = 0$ ($n\geq 2$). 这个命题对生象成立, 但这个证明不能用生象语言解释.
1.2 Van Kampen 定理
1.3 覆叠空间
1.A 图与自由群
第 2 章. 同调
单纯同调与奇异同调
拓扑空间 $X$ 的奇异同调是其奇异单纯集 $\operatorname{Sing}X$ 的单纯同调.
单纯集的单纯同调是如下复合: $$ \mathsf{sSet} \overset{\mathbb{Z}[-]}{\longrightarrow} \mathsf{sAb} \overset{\mathrm{DK}}{\longrightarrow} \mathsf{Ch}_{\geq 0}(\mathbb{Z}) \overset{H_n}{\longrightarrow}\mathsf{Ab}, $$ 它表现了如下函子: $$ \mathsf{Ani} \overset{\mathbb{Z}[-]}{\longrightarrow}\mathsf{Mod}(H\mathbb{Z})_{\geq 0} \overset{H_n}{\longrightarrow} \mathsf{Ab}. $$