偏屈层笔记 [notes-perverse]

笔记
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偏屈层始于奇性的代数簇的几何. 常值层的上同调不能正确描述这种几何对象; 人们最初发明相交上同调描述它们.

第 1 讲

Poincaré 对偶

设 $X$ 为 $d$ 维光滑复射影代数簇, $$ H^r\times H^{2d-r}\to H^{2d}(X,\mathbb{Q}) \to \mathbb{Q} $$ 为完美配对.

对于带奇点的代数簇如结曲线 (nodal curve) $C$, 记 $\widetilde C \simeq \mathbb P^1$ 为其正规化, 映射 $$ \nu\colon \widetilde C \to C $$ 相当于粘合 $\mathbb P^1$ 的两点. 在这两点之外, 映射为同构. 我们尝试计算 $C$ 的上同调. $$ H^r(C,\mathbb{Q}) = \begin{cases} \mathbb{Q} & r = 0,1,2\\ 0 & \text{其它.} \end{cases} $$ 可见 $H^1$ 上的配对退化 (因为杯积分次交换, 在 $H^1$ 上反交换), 没有完美配对.

为了找一个层尽可能接近常值层, 同时修复 Poincaré 对偶, 考虑 $$ \mathcal N = \nu_* \underline{\mathbb{Q}}_{\widetilde C}, $$ 直观上这个层 “记住了结点的两支”.

引理. 有短正合列 $$ \underline{\mathbb{Q}}_C \to \mathcal N \to i_*\mathbb{Q}, $$ 映射 $\mathcal N \to i_*\mathbb{Q}$ 取结点的两支的差.

暂且定义 “IC 层” $$ \mathrm{IC}_C := \mathcal N[1] $$ 以及 (按照历史记号) $$ \mathrm{IH}^r(C,\mathbb{Q}) = H^{r-1}(C,\mathrm{IC}_C) = H^r(C,\mathcal N). $$

取长正合列给出 $$ \mathrm{IH}^r(C,\mathbb{Q}) = \begin{cases} \mathbb{Q} & r = 0,2\\ 0 & \text{其它}. \end{cases} $$

定义. 对于光滑的 $X$, $$ \mathrm{IC}_X := \underline{\mathbb{Q}}_X [\operatorname{dim}X]. $$

一般的 $X$ 的 IC 层是奇点消解的常值层的 (导出) 推前.

可构造层与六函子

回忆, Abel 范畴 $\mathcal A$ 的导出范畴 $D(\mathcal A)$ 是链复形的范畴的局部化, 使得链复形之间的拟同构 (诱导上同调之间的同构的映射) 变为导出范畴中的同构.

$D(\mathcal A)$ 是个稳定 $\infty$-范畴, 其中有一些关键的三角 (纤维列). 三角给出上同调的长正合列.

稳定范畴之间的正合函子是保持这些特殊三角的函子.

Abel 范畴之间的正合函子 $F\colon \mathcal A \to \mathcal A'$ 给出导出范畴之间的正合函子 $F\colon D(\mathcal A) \to D(\mathcal A')$.

不仅如此, Abel 范畴之间的左正合函子 $F\colon \mathcal A \to \mathcal A'$ 给出导出范畴之间的正合函子¹ (称为右导出函子) $RF\colon D(\mathcal A) \to D(\mathcal A')$. 通过这个函子再取上同调就得到传统的导出函子 $R^d F$. Abel 范畴之间的右正合函子 $F\colon \mathcal A \to \mathcal A'$ 给出导出范畴之间的正合函子 (称为左导出函子) $LF\colon D(\mathcal A) \to D(\mathcal A')$. 但在导出范畴语境中, 我们常常直接用 $F$ 的符号表示导出函子 (不写 $R,L$), 因为它是唯一合理的选择.

这里忽略了一些有限上同调振幅的限制条件, 或者实际上考虑的是有界导出范畴.

稳定范畴 $\mathcal D$ 的关键性质是移位 $[1]\colon \mathcal D \to \mathcal D$ 是个等价. 对任意三角 $M\to N \to L$, 可旋转得到三角 $N \to L \to M[1]$, $L\to M[1]\to N[1]$ 等等.

回到正题. 可构造层是可由有限步基本操作得到的层, 具体地, 称 $X$ 上的层 $F$ 可构造, 意思是存在 $X$ 的有限分层 $X = \bigsqcup_\alpha S_\alpha$, 每个 $S_\alpha$ 为子簇, 且 $F|_{S_\alpha}$ 为 $\mathbb{Q}$-局部系统 (局部常值的 $\mathbb{Q}$-线性空间层). 记 $$ D_c^b (X,\mathbb{Q}) \subset D(\mathsf{Shv}(X)) $$ 为上同调可构造且有界的对象构成的全子范畴. 这是我们的主要工作范畴, 我们要构造的奇性代数簇 $X$ 上的 IC 层就是其中的对象.

记号. $f_*^{\heartsuit}\colon \mathsf{Shv}_c(X) \to \mathsf{Shv}_c(Y)$ 为可构造层的推前, $f_*\colon D_c^b(X) \to D_c^b(Y)$ 为其导出函子.

对于映射 $f\colon X \to Y$ 有三对伴随 (六函子):

$f^* \dashv f_*$
$f_! \dashv f^!$
${(-\otimes K)} \dashv {\operatorname{Hom}(K,-)}$.

“叹号推前” $f_!$ 是 $f_!^\heartsuit\colon \mathsf{Shv}_c(X) \to \mathsf{Shv}_c(Y)$ 的导出函子. 在拓扑空间中, $f_!^\heartsuit$ 的一个定义是: 对开集 $V\subset Y$, $(f_!^\heartsuit M)(V) = \{s\in M(f^{-1}(V))\mid\operatorname{supp}s \text{ 紧合}\}$. 特别地, 对于 $Y = \mathrm{pt}$ 的情形, $f_!^\heartsuit M = \Gamma_c (X;M)$ 是紧支集截面.

或许两个更有用的一般性质是

若 $f$ 为开嵌入, 则 $f^! \simeq f^*$;
若 $f$ 紧合, 则 $f_! \simeq f_*$.

我们将视上述结构为黑箱.

例. $X = \mathbb A^1$, $X(\mathbb{C}) = \mathbb{C}$, 此时

$p_*\underline{\mathbb{Q}} = \Gamma(X,\underline{\mathbb{Q}}) = \mathbb{Q}$,
$p_!\underline{\mathbb{Q}} =\Gamma_c(X,\underline{\mathbb{Q}})=\mathbb{Q}[-2].$

提示: 考虑紧化 $j\colon X \to \overline{X} = \mathbb P^1$, 记 $i\colon \{\infty\} \to \mathbb P^1$ 为其补闭集, 则有三角 $$ j_! \underline{\mathbb{Q}}_X \to \underline{\mathbb{Q}}_{\overline{X}} \to i_*\mathbb{Q}. $$

Verdier 对偶

定义 $X$ 的对偶复形为 $$ \omega_X := p^!\mathbb{Q}. $$ 考虑函子 $$ \mathbb D_X \colon M\mapsto\operatorname{Hom}(M,\omega_X). $$

定理 (Verdier 对偶). $\mathbb D_X\colon D_c^b(X)^{\mathrm{op}} \to D_c^b(X)$ 为等价.

例. $X = \mathrm{pt}$ 时, $\mathbb D M = M^*$ (线性对偶).

命题.

$\mathbb D$ 为正合函子;
$\mathbb D\circ\mathbb D = \mathrm{id}$;
$\mathbb D \circ [1] = [-1] \circ \mathbb D$;
$\mathbb D \underline{\mathbb{Q}}_X = \omega_X$;
对于 $f\colon X\to Y$,
- $\mathbb D_Y f_! = f_* \mathbb D_X$,
- $\mathbb D f^! = f^* \mathbb D$,
若 $X$ 为 $d$ 维光滑代数簇, 则 $\omega_X = \underline{\mathbb{Q}}_X [2d]$.
(Poincaré 对偶) 设 $X$ 光滑紧合, 那么 $\Gamma (X,\underline{\mathbb{Q}})^*=\Gamma_c(\mathbb D_X \underline{\mathbb{Q}}) = \Gamma(\mathbb{Q}[2d])$. (因此 Verdier 对偶可视为相对 Poincaré 对偶.)

我们将说明 $$ \mathbb D \mathrm{IC}_X = \mathrm{IC}_X. $$

对于点 $x\in X$, 称 $i_x^*$ 为茎, $i_x^!$ 为余茎 (costalk). 特殊三角可由所有点处的茎探测.

余茎的一个计算方法是 $$ H^r(i_x^! \underline{\mathbb{Q}}_X) = H^r(B, B\setminus\{x\},\mathbb{Q}). $$

考虑映射 $j\colon \mathbb A^1 \setminus 0 \to \mathbb A^1$, $i\colon 0\to\mathbb A^1$. 有自然映射 $$ j_! \to j_* $$

定理 (基变换). 对于拉回图

$$ \begin{CD} X' @>{f'}>> Y' \\ @V{p}VV @VV{q}V \\ X @>>{f}> Y \end{CD} $$

有 $$ q^! f_* \simeq (f')_* p^!, $$ $$ q^* f_! \simeq (f')_! p^*. $$

我们将以 $j_!$ 与 $j_*$ 之间的一种操作 $j_{!*}$ 来定义 $\mathrm{IC}$.

习题. $\mathbb A^1 \setminus 0$ 上的 $\mathbb{Q}$-局部系统 $\mathcal L$ 等同于有限维 $\mathbb{Q}$-线性空间 $V$ 带一个自同构 $T$. 证明 $$ i^*j_* \mathcal L = [V \overset{T-1}{\to} V]. $$

解答 (我的尝试, 不一定对 / 好). $$ \begin{aligned} i^*j_*\mathcal L &= \operatorname{colim}_{0\in U} \Gamma(U,j_*\mathcal L)\\ &=\operatorname{colim}_{0\in U}\Gamma(U\setminus 0, \mathcal L). \end{aligned} $$ 考虑 $U$ 为以 $0$ 为中心的圆盘, 将 $U \setminus 0$ 写成两个可缩开集 $U_1, U_2$ 的并, 满足交集 $U_{12}=U_1\times_{U_0} U_2$ 为两个可缩分支, 那么 (假设 $D(-)$ 的下降) $$ D(U\setminus 0) \simeq D(U_1)\times_{D(U_{12})} D(U_2), $$ $D(U \setminus 0)$ 的一个对象等同于三元组 $(F_1\in D(U_1),F_2\in D(U_2),\phi\colon F_1|_{U_{12}}\simeq F_2|_{U_{12}})$. 那么 $\mathcal L$ 对应 $(V,V,(\mathrm{id},T)\colon V\oplus V\simeq V\oplus V)$, 常值层 $\mathbb{Q}_{U\setminus 0}$ 对应 $(\mathbb{Q},\mathbb{Q},\mathrm{id})$. $$ \begin{aligned} \Gamma(U\setminus 0,\mathcal L) &=\operatorname{Hom}_{U\setminus 0}(\mathbb{Q}_{U\setminus 0},\mathcal L)\\ &=\operatorname{Hom}_{U_1}(\mathbb{Q}_{U_1},\mathcal L)\times_{\operatorname{Hom}_{U_{12}}(\mathbb{Q}_{U_{12}},\mathcal L)}\operatorname{Hom}_{U_2}(\mathbb{Q}_{U_2},\mathcal L)\\ &= V\times_{V\oplus V} V \\&= \operatorname{fib}((\mathrm{id},T)\colon V\oplus V \to V\oplus V)\\&=\operatorname{fib}(T-\mathrm{id}\colon V\to V). \end{aligned} $$

第 2 讲

设 $X$ 具有分层 $X = \bigsqcup S_\alpha$, 且 $\mathcal F\in D^b_c(X)$ 逐层局部常值. 我们将定义 $D^b_c(X)$ 上的可构造 $t$-结构 (偏屈 $t$-结构), 使得

$\mathcal F\in D(X)^{\leq 0}$ 当且仅当 $r > -\operatorname{dim}S_\alpha$ 时 $H^r(\mathcal F|^{*}_{S_\alpha}) =0$;
$\mathcal F\in D(X)^{\geq 0}$ 当且仅当 $r < -\operatorname{dim}S_\alpha$ 时 $H^r(\mathcal F|^{!}_{S_\alpha}) =0$.

(我们采用上同调指标.)

本讲内容已经记载在 $t$-结构, 粘 $t$-结构等页面.

第 3 讲

考虑两层的开闭分解 $$ i\colon U\subset X \hookleftarrow Z \colon j, $$ 伴随 $$ (i^*\dashv i_*\dashv i^!)\colon D_c^b (Z) \begin{aligned} &\overset{i^*}{\leftarrow}\\ &\overset{i_*}{\rightarrow}\\ &\overset{i^!}{\leftarrow} \end{aligned}\, D_c^b(X) \begin{aligned} &\overset{j_!}{\leftarrow}\\ &\overset{j^*}{\rightarrow}\\ &\overset{j_*}{\leftarrow} \end{aligned}\, D_c^b(U) \colon (j_!\dashv j^*\dashv j_*) $$ 给出如下三角. $$ j_! j^* F \to F\to i_* i^* F $$ $$ i_* i^! F \to F \to j_* j^* F $$

换言之, $$ F = \operatorname{fib}(j_* F_U \to i_* F_Z [1]) $$

一般地, 要定义 $X$ 上关于指定分层 $S$ 的偏屈 $t$-结构, 只需定义各层 $D^b_S(S_\alpha)$ 上的 $t$-结构 (平移通常 $t$-结构使得 $\underline{\mathbb{Q}}[\operatorname{dim}S_\alpha] \in \heartsuit$).

然后老师详细解释了粘 $t$-结构. 详见粘 $t$-结构.

设 $S$ 为光滑代数簇, 配备平凡分层 $\mathcal S_{\mathrm{triv}}$ (只有一层).

由定义, $D^b_{\mathcal S_{\mathrm{triv}}} (S) = D^b_{\mathrm{loc}}(S)$. 注意它不等于它的心 (普通局部系统的 Abel 范畴 $\mathsf{LS}(S)$) 的导出范畴. 例如当 $S$ 单连通时, 局部系统平凡, 但 $D^b_{\mathrm{loc}}(S)$ 包含了 $S$ 的所有上同调的信息.

定义偏屈 $t$-结构满足 $$ D^b_{\mathcal{S}_{\mathrm{triv}}}(S)^{p,\leq 0} = D^b_{\mathcal S_{\mathrm{triv}}}(S)^{\leq 0} [\operatorname{dim}S]. $$

一般地, 设 $X$ 有分层结构 $\mathcal S \colon X = \bigcup_\alpha S_\alpha$.

定理. 通过粘 $t$-结构得到的 $D^b_{\mathcal S}(X)$ 上的偏屈 $t$-结构满足 $$ D^b_{\mathcal S}(X)^{p,\leq 0} = \{ F\mid H^r(S_\alpha^*F) = 0\,\forall r>{-{\operatorname{dim}S_\alpha}} \}, $$ $$ D^b_{\mathcal S}(X)^{p,\geq 0} = \{ F\mid H^r(S_\alpha^! F) = 0\,\forall r<{-{\operatorname{dim}S_\alpha}} \}. $$ 其中 $H^r$ 是对于普通 $t$-结构的上同调. 条件也可以对偏屈 $t$-结构的上同调表述为 $$ H^{p,r}(S_\alpha^* F) = 0 \,\forall r > 0. $$

记 $\mathsf{Perv}_{\mathcal S}(X) := D^b_{\mathcal S}(X)^{\heartsuit}$.

若分层 $\mathcal S'$ 是 $\mathcal S$ 的细化, 则 $$ D_{\mathcal S}^b(X) \subset D_{\mathcal S'}^b (X), $$

习题. 证明上述包含中 $(p,\leq 0),(p,\geq 0)$ 部分均相容: $$ D^b_{\mathcal S}(X)^{p,\leq 0} = D^b_{\mathcal S'}(X)^{p,\leq 0} \cap D^b_{\mathcal S}(X). $$ 提示: 若 $f\colon T\to S$ 为光滑代数簇的映射, 则 $f^*(\mathsf{LS}_S)\subset\mathsf{LS}_T$, $f^*(\mathsf{Perv}(S))[\operatorname{dim}_T - \operatorname{dim}_S]\subset\mathsf{Perv}(T)$.

习题. $\mathbb D (\mathsf{Perv}(X)) = \mathsf{Perv}(X)$.

例. 考虑 $X=\mathbb A^1$, $Z=\mathrm{pt}$.

$\mathrm{IC}_X = \underline{\mathbb{Q}}[1]$.
$i_* i^! \underline{\mathbb{Q}}\to \underline{\mathbb{Q}}\to j_* j^*\underline{\mathbb{Q}}$
$j_! j^* \underline{\mathbb{Q}} \to \underline{\mathbb{Q}} \to i_* i^* \underline{\mathbb{Q}}$ (通常 $t$-结构的心中的正合列)
平移后旋转得到心中的正合列 $i_*\mathbb{Q}\to j_! \mathrm{IC}_U \to \mathrm{IC}_X$.
$j_!\mathrm{IC}_U\to \mathrm{IC}_X\to j_*\mathrm{IC}_U$ 恰好是 $j_!\mathrm{IC}_U\to j_*\mathrm{IC}_U$ 的满-单分解. (一般地, 若 $F^R$ 全忠实则有自然变换 $F^L \to F^R$, 来自 $\mathrm{id} = FF^R$.)

IC 延拓

记 $$ j_!^{\heartsuit} = \tau^{\geq 0} \circ j_!, $$ $$ j_*^{\heartsuit} = \tau^{\leq 0} \circ j_*. $$ 自然变换 $j_! \to j_*$ 给出心中的自然变换 $j_!^{\heartsuit} \to j_*^{\heartsuit}$. (一般地, 右 $t$-正合函子到左 $t$-正合函子的自然变换自动给出心中的自然变换.) 这个自然变换的像称为中间延拓 (intermediate extension) $j_{! *}$, 由 Goresky–MacPherson 定义.

命题. $j_{! *}$ 为全忠实函子.

引理. 设 $F\in\mathsf{Perv}(U)$. 则 $j_{! *}F$ 为带有如下结构的唯一对象 $K$:

$j^* K \simeq F$;
$K$ 没有非平凡的支在 $Z = X \setminus U$ 上的子对象或商对象.

命题-定义. $$ \mathrm{IC}_X = j_{! *}\mathrm{IC}_U. $$ 这意味着上式右端不依赖于光滑开集 $U$ 的选取.

第 4 讲 (2026-10-13)

上回定义了 $D^b_c(X)$ 上的偏屈 $t$-结构, 约化到开闭分解 $j\colon U\subset X \hookleftarrow Y\colon i$ 的情形, 使得 $j^* = j^!$ 与 $i_! = i_*$ 都是 $t$-正合函子.

我们还定义了 $!*$-延拓 $j_{! *}\colon \mathsf{Perv}(U) \to \mathsf{Perv}(X)$, $j_{! *} \mathcal F$ 是 $\mathcal F$ 唯一的没有支在 $Y$ 上的子/商的偏屈延拓.

命题. 对于 $\mathcal M \in\mathsf{Perv}(X)$, 如下条件等价:

$M \simeq j_{! *} (j^* M)$;
对任意 $\mathcal N\in\mathsf{Perv}(Y)$, $\operatorname{Hom}(\mathcal M,\mathcal N) = 0$;
$H^{p,=0}(i^*\mathcal M)$, $H^{p,=0}(i^!\mathcal M)$ 平凡;
$i^* \mathcal M \in D^b_c (Y) ^{p,\leq -1}$, $i^!\mathcal M \in D^b_c (Y)^{p,\geq 1}$.

推论. $\mathbb D j_{! *} \simeq j_{! *} \mathbb D$.

命题. 对于一连串包含 $j_1\colon V\subset U$, $j_2\colon U\subset X$, $! *$-延拓与复合相容: $(j_2)_{! *} (j_1)_{! *} = (j_2 j_1)_{! *}$.

思路是证明 $(j_2)_{! *} (j_1)_{! *} \mathcal M$ 没有支在 $X\setminus V$ 上的非平凡子/商.

命题. $j_{! *}$ 保持单射和满射.

证明. 设 $\mathcal M_1 \to \mathcal M_2$ 是 $\mathsf{Perv}(U)$ 中的单射. 令 $K = \ker (j_{! *}\mathcal M_1 \to j_{! *} \mathcal M_2)$. 对正合列 $K \to j_{! *}\mathcal M_1 \to j_{! *} \mathcal M_2$ 作用正合函子 $j^*$, 得到 $j^* K = 0$. 这意味着 $K$ 支于闭部分 $Y$. 由 $j_{! *}$ 的性质, $K = 0$. 满射的证明是对偶的.

注. $j_{! *}$ 不是正合函子 (不保持短正合列的中间项).

我们来仔细讨论一个反例. 令 $X = \mathbb A^1$, $U = \mathbb A^1 \setminus 0$, $Y = \{0\}$.

回忆之前的习题, $U$ 上的局部系统 $\mathcal L$ 等同于一个线性空间 $V$ 带有一个自同态 (单值算子) $T$; 偏屈层 $\mathcal L [1]$ 满足 $i^* j_*^{\heartsuit} (\mathcal L [1]) = \ker (T-1) [1]$; 对偶地 $i^! j_!^{\heartsuit} (\mathcal L [1]) = \operatorname{coker} (T-1) [-1]$.

$j_{! *} (\mathcal L [1])$ 是 $j_* \mathcal L$ 的截断: $j_{! *} (\mathcal L [1]) \simeq (j_*^{\heartsuit}) [1]$.

考虑常值局部系统 $\underline{\mathbb{Q}}$ 之间的非平凡扩张 (Jordan 块 $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$), 正合列 $\underline{\mathbb{Q}} \to \mathcal L \to \underline{\mathbb{Q}}$ 不被 $j_*^{\heartsuit}$ 保持 ($\mathcal L$ 的整体截面是一维的).

定义. 对于局部闭嵌入 $Y \overset{j}{\subset} \overline{Y} \overset{i}{\hookrightarrow} X$ (其中 $Y$ 光滑), 定义 $$ \mathrm{IC}_X(\mathcal L) = i_* j_{! *} (\mathcal L [\dim Y]). $$

命题. 对于稠密开集 $f\colon U\subset Y$, $f_{! *} (\mathcal L|_U) [\dim Y] = \mathcal L [\dim Y]$; 进而 $\mathrm{IC}_X (\mathcal L) = \mathrm{IC}_X (\mathcal L|_{U})$. (上同调振幅估计, 使用 $\dim (Y\setminus U) < \dim Y$)

对于稠密开集 $U\subset X$, $$ \mathrm{IC}_X = \mathrm{IC}_X (\underline{\mathbb{Q}}_U). $$

习题. 对结曲线的正规化 $\pi\colon \widetilde C \to C$, $$ \mathrm{IC}_C = \pi_* \mathrm{IC}_{\widetilde C}. $$

下面我们说明 $\mathsf{Perv}(X)$ 的所有对象都可由 $\mathrm{IC}_X(\mathcal L)$ 经过有限次扩张得到.

引理. 设 $X$ 光滑, 连通, $\mathcal M \in \mathsf{Perv}(X)$ 局部常值 (即所有上同调局部常值), 则 $\mathcal M = \mathcal L [\dim X]$.

引理. 设 $X$ 光滑, 连通, $U\subset X$ 为稠密开集, $\mathcal L$ 为 $X$ 上的不可约局部系统 (意指无真子局部系统, 在 Betti 世界即基本群的不可约表示), 则 $\mathcal L |_U$ 也为不可约局部系统. 这是因为复代数簇的子簇的实余维数至少为 $2$, 从而基本群上为满射.

(平展世界如何呢?)

命题. 设 $X$ 光滑, 连通, 则局部系统 $\mathcal L$ 的不可约性等价于其作为可构造层的单性, 也等价于 $\mathcal L [\dim X]$ 在 $\mathsf{Perv}(X)$ 中的单性.

引理. $j\colon U\subset X$ 开, $\mathcal M\in\mathsf{Perv}(U)$, 那么 $j_{! *}\mathcal M$ 单当且仅当 $\mathcal M$ 单.

定理 (单偏屈层分类). $\mathsf{Perv}(X)$ 的单对象恰为 $\mathrm{IC}_X (\mathcal L)$, 其中 $\mathcal L$ 为光滑连通子簇上的不可约局部系统.

设 $\mathcal P\in\mathsf{Perv}(X)$ 为单对象. 考虑支集的闭包 $Z = \overline{\operatorname{supp}\mathcal P}$, $\mathcal P = i_{Z,*} i^! \mathcal P$, 则 $i^!\mathcal P$ 单. 故不妨设 $Z = X$.

设 $X$ 为不可约分支 $X_\alpha$ 的并. 取稠密开集 $U_\alpha\subset X_\alpha$, $\mathcal P|_{U_\alpha}$ 局部常值且非零 (因为 $\mathcal P$ 的支集为全空间). 记 $U = \bigsqcup U_\alpha$.

$\mathcal P|_U = \bigoplus \mathcal L_\alpha [\dim U_\alpha]$, 故 $X$ 实际上只有一个不可约分支.

我们断言 $\mathcal P|_U$ 单. …

定理. $\mathsf{Perv}(X)$ 满足 Artin 条件 (降链稳定) 和 Noether 条件 (升链稳定), 即每个对象都有有限长度.

第 5 讲 (2026-10-20)

上回定义并研究了 $\mathrm{IC}$ 对象. 我们将看到偏屈 $t$-结构比通常 $t$-结构表现更好.

我们将研究对于映射 $f\colon X\to Y$, 四个函子何时正合, 以及其上同调振幅.

命题. 当 $f$ 的纤维维数不超过 $d$ 时,

$f^* (D^{p,\leq 0}) \subset D^{p,\leq d}$;
$f_* (D^{p,\geq 0}) \subset D^{p,\geq -d}$;
$f^! (D^{p,\geq 0}) \subset D^{p,\geq -d}$;
$f_! (D^{p,\leq 0}) \subset D^{p,\leq d}$.

由伴随和 Verdier 对偶, 四个性质等价, 只需证明其中一条.

需要证明对于 $M\in D^{p,\leq 0}$, $$ \operatorname{dim}\operatorname{supp}H^r (f^* M) \leq -r+d. $$ 而 $$ \operatorname{dim}\operatorname{supp}H^r (f^* M) = \operatorname{dim} f^*\operatorname{supp}H^r (M), $$ 一个支集的原像至多增加纤维的维数.

推论. 若 $f$ 是光滑映射, 相对维数为 $d$, 则 $f^! [-d] = f^* [d]$ 为偏屈 $t$-结构下的 $t$-正合函子.

习题. 考虑映射 $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $x\mapsto x^2$.

定理 (相对 Artin 估计) 若 $f\colon X\to Y$ 为仿射映射, $M\in \mathsf{Sh}_c (X)$ 为可构造层, 则 $$ \operatorname{dim}\operatorname{supp} H^r (f_* M) \leq \operatorname{dim}\operatorname{supp} M - r. $$ (注意此式与纤维的维数无关.)

推论. 若 $f\colon X\to Y$ 为仿射映射, 则

$f_* (D^{p,\leq 0}) \subset D^{p,\leq 0}$;
$f_! (D^{p,\geq 0}) \subset D^{p,\geq 0}$.

推论 (绝对情形, Artin 消失定理). 设 $X$ 仿射, $M\in \mathsf{Sh}_c (X)$, 则 $H^r (X,M) =0$ ($r > \operatorname{dim}X$).

此前我们只知道 $r > 2\operatorname{dim}X$ (实维数) 时上同调消失, 所以这个命题令人惊讶. 但实际上我们有如下结论.

断言. 仿射复代数簇 $X$ 具有一个不超过 $\operatorname{dim} X$ 维的 CW 复形的同伦型.

这个结论是用 Morse 理论证明的. 找一个 Morse 函数, 即实函数 $\varphi\colon X \to \mathbb{R}$, 使得 $X$ 的同伦型可通过逐次粘贴胞腔得到, 每次对应 $\varphi$ 的一个临界点, 胞腔维数是临界点的 Morse 指标. 将 $X$ 闭嵌入某个 $\mathbb A^n$, 取一个一般位置的点 $y\in\mathbb A^n$ 使得到 $y$ 的距离的平方给出 Morse 函数. 虽然 $X$ 不是紧的, 但我们可以让 $\varphi$ 在任何一个区间内的部分 $X_{[a,b]}$ 都是紧的.

平展情形的 Artin 消失定理的证明在 SGA 4, 4.5. 这是一个很好的报告主题.

若 $M\in D^b_c$ 不是一个普通的层, 我们还能对 $f_* M$ 说什么? 我们知道 $M$ 有一个滤过, 其关联分次对象为 $H^r (M) [-r]$. 那么 $f_* M$ 有一个滤过, 其关联分次对象为 $$ H^s (f_* H^r (M)) [ -r - s ]. $$

谱序列正是用来处理这种对象的: 稳定范畴中的滤过在正合函子下的像.

半小性

设 $X$ 光滑, $\operatorname{dim}X = d$. 对于映射 $f\colon X\to Y$, 若

$\operatorname{dim}\{y\in Y\mid\operatorname{dim}f^{-1}(y)\geq r\} \leq d - 2r$,
(等价地) $\operatorname{dim}(X\times_Y X) \leq \operatorname{dim}X$,

则称 $f$ 是半小 (semismall) 的.

习题. 构造 $Y = \{\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = 0\}$ 的半小消解.

我们想要用消解研究奇性代数簇 $Y$.

命题. 若 $f$ 半小, 则 $f_*\mathrm{IC}_X$ 为偏屈层.

(后面有一小节课没听)

第 6 讲 (2026-10-27)

例. $\pi\colon \operatorname{Bl}_0\mathbb A^2\to\mathbb A^2$ 为半小映射, $\pi_*\mathrm{IC}$ 为偏屈层, 分解为 $\mathrm{IC}_{\mathbb A^2}\oplus\delta_0$.

命题 (光滑射影分解). 设 $Y$ 为光滑代数簇, $f\colon X\to Y$ 为满射, 且为光滑, 射影映射, 相对维数为 $d$. 那么 $$ f_*\underline{\mathbb{Q}}_X \simeq \bigoplus_{q=0}^{2d} H^q(f_*\underline{\mathbb{Q}}_X)[-q]. $$

注. 在紧合情形也有此结论.

推论. 在前述条件下, $$ f_* \mathrm{IC}_X \simeq \bigoplus_{q=-d}^{d} {^p H}^q (f_* \mathrm{IC}_X) [-q]. $$

下面主要的目标就是证明这个定理:

定理 (BBDG) 设 $f\colon X\to Y$ 紧合, $$ f_* \mathrm{IC}_X \simeq \bigoplus_{q} {^p H}^q (f_* \mathrm{IC}_X) [-q]. $$

注. 对通常 t-结构不成立.

光滑射影分裂的证明 (Ehresmann). 由假设, $f_*\underline{\mathbb{Q}}_X$ 局部常值. (不过仅这一条还不能推出分裂为上同调.) 考虑典型纤维 $Z$, $\dim Z = d$.

“Hard Lefschetz” 告诉我们: 若 $\mathcal L$ 为丰沛线丛, 记 $\eta = c_1(\mathcal L)\in H^2(Z)$ (“一般超平面”), 则 $\eta\cup (-)\colon H^*\to H^{*+2}$ 迭代 $q$ 次给出一个典范同构 $\eta^q\cup (-)\colon H^{d-q}\simeq H^{d+q}$ (Poincaré 对偶告诉我们它们同构, 但不典范).
若有关于 $f\colon X\to Y$ 的相对丰沛线丛, 则有典范同构 $\eta^q\cup (-)\colon H^{d-q}(f_*\underline{\mathbb{Q}}_X) \simeq H^{d+q}(f_*\underline{\mathbb{Q}}_X)$.
事实上, 上述同构由同构 $\eta^q\colon f_*\underline{\mathbb{Q}} \to f_*\underline{\mathbb{Q}} [2q]$ 取上同调得到. 由 Deligne 分裂定理完成证明.

定理 (Deligne 分裂). 设 $K$ 是带 t-结构的稳定范畴中的有界对象, 且有态射 $\eta\colon K \to K[2]$. 假设对任意 $r$, $K \to K[2r]$ 诱导同构 $H^{-r} (K)\simeq H^r(K)$, 则有 $K = \bigoplus H^i (K) [-i]$.

本学期剩下的大纲: BBDG 定理的证明.

类比到特征 $p$
纯性 (purity)
权重理论
从特征 $p$ 回到特征 $0$: 在 $\operatorname{Spec}\mathbb F_p$ 的特殊纤维上应用 Frobenius 与权重理论证明分解, 再回到 $\operatorname{Spec}\mathbb{C}$ 的一般纤维.

约定. $X$, $Y$ 等表示定义在 $\overline{\mathbb F_q}$ 上的代数簇, $X_0$, $Y_0$ 等表示 $\mathbb F_q$ 上的代数簇, $X = X_0\times_{\operatorname{Spec}\mathbb F_q}\operatorname{Spec}\overline{\mathbb F_q}$.

回忆 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F_q}/\mathbb F_q) = \widehat {\mathbb{Z}} = \operatorname{lim}_n \mathbb{Z}/n$.

回忆 Frobenius 给出 $X$ 的自同构, 与 $\overline{\mathbb F_q}$ 的自同构相容. 它也作用于 $X$ 上的层.

我们可以定义 “$\ell$-进层” $D^b_c(X,\overline{\mathbb{Q}_\ell})$ 上的偏屈 t-结构:

首先定义 $f^*,f^!,f_!,f_*,\mathbb D,\operatorname{Hom},\otimes$ (例如将映射分解为开嵌入接着紧合映射…)
平展局部系统是平展局部常值层, 等同于平展基本群的表示.

权重理论与 Tate 扭

$\mathbb A^1$ 上, $\widehat {\mathbb{Z}}$ 在 $H^0 = \overline{\mathbb{Q}}_\ell$ 上的作用是平凡的.
$\widehat {\mathbb{Z}}$ 在 $H^1(\mathbb G_m)$ 以及 $H^2(\mathbb P^1)$ 上的作用不平凡.

$\mathbb G_m$ 上的 Frobenius 作用是什么? 直观上, 它作用于 $\overline{\mathbb{F}_q}$-点的集合 $\overline{\mathbb{F}}_q^\times$ 上.

下次我们将介绍 Tate 扭, 一个反复出现的核心对象. 它出现在这两个上同调的 Frobenius 作用的计算中.

第 7 讲 (2026-11-03)

命题 (BBDG 分解定理). 设 $f\colon X\to Y$ 为紧合映射, 则 $f_*\mathrm{IC}_X$ 分解为 $$ f_*\mathrm{IC}_X\simeq \bigoplus {^p H^r} (f_*\mathrm{IC}_X)[-r], $$ 且 ${^p H^r} (f_*\mathrm{IC}_X)\in\mathsf{Perv}$ 半单.

记 $k_0 = \mathbb F_q$ 为有限域, $k = \overline{k_0}$ 为其可分闭包, $\operatorname{Gal}(k/k_0) = \widehat {\mathbb{Z}}$. 取定 “几何 Frobenius” $1\in\widehat {\mathbb{Z}}$, 它是 “算术 Frobenius” 的逆. 对于 $k_0$-概形 $X_0$, 记 $X = X_0\times_{\operatorname{Spec}k_0}\operatorname{Spec}k$.

上回说到, 我们将用 Frobenius 将问题转化到 $k_0$ 上, 然后使用平展上同调. 平展上同调的系数 $\mathbb{Z}/\ell^n$, $\mathbb{Z}_{\ell}$, $\mathbb{Q}_{\ell}$ 等需要取定一个不同于 $p$ 的素数 $\ell$.

回忆 $X$ 或 $X_0$ 上的 lisse 层等同于 $\pi_1^{\text{ét}}$ 的连续表示. 有群正合列 $$ \pi_1^{\text{ét}}(X) \to \pi_1^{\text{ét}}(X_0) \to \pi_1^{\text{ét}}(\operatorname{Spec}k_0). $$ 称 $\pi_1^{\text{ét}}(X)$ 为几何基本群, $\pi_1^{\text{ét}}(X_0)$ 为算术基本群.

Tate 扭

设 $E$ 为 $\mathbb{Z}/\ell$ 或 $\mathbb{Z}_\ell$ 或 $\mathbb{Q}_\ell$.

问题. $H^* (\mathbb G_m,E),H^* (\mathbb P^1,E)$ 上的 Galois 作用是什么?

考虑 $k$ 上的 $\ell^n$ 次单位元群 $\mu_{\ell^n}$, 它不典范地同构于 $\mathbb{Z}/\ell^n$ (同构需要一个人为的单位根的选取). $\mu_{\ell^n}$ 上的 Galois 作用不平凡. 类似地, $\mu_{\ell^\infty} := \operatorname{lim}\mu_{\ell^n}$ 不典范地同构于 $\mathbb{Z}_\ell$.

设 $V$ 为带 Galois 作用的 $E$-模. 定义其 Tate 扭 $$ V(1) := V \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mu_{\ell^\infty}. $$

$\backslash$	$\mathbb A^1$	$\mathbb P^1$	$\mathbb G_m$
$H^1$	$0$	$0$	$E(-1)$
$H^2$	$0$	$E(-1)$	$0$

然后老师解释了相对 Frobenius 态射的细节. 详见 Frobenius 态射.

考虑 Kummer 序列 $$ \mu_{\ell^n}\to \mathbb G_m \overset{\ell^n}{\to} \mathbb G_m, $$ 注意 $\ell\neq p$ 保证 $\ell^n$ 为平展映射, 从而构成 $\mu_{\ell^n}$-主丛, 也即 $H^1(\mathbb G_m,\mu_{\ell^n})$ 的一个典范元素. 特别地, 这个典范元素在 Galois 作用下不变.

类似地, 有同构 $$ E \overset{\simeq}{\to} H^1(\mathbb G_m, E(1)), $$ $$ E(-1)\simeq H^1 (\mathbb G_m,E). $$ 这是 Tate 扭的另一种更令人信服的理解方式.

$\mathbb P^1$ 的 Poincaré 对偶给出完美配对 $$ H^0(\mathbb P^1,E)\otimes_E H^2(\mathbb P^1,E(1))\to E, $$ 即 $$ H^2(\mathbb P^1,E(1)) \simeq H^0(\mathbb P^1,E)^\vee. $$ 一般地, 对于 $d$ 维光滑代数簇 $X$, $\dim X = d$, 有 $$ H^i_c (X,E(d)) \simeq H^{2d-i}(X,E)^\vee. $$ 记 $$ \omega_{X_0} := E_{X_0}(d)[2d]. $$ 它是 $X_0\to\operatorname{Spec}k_0$ 的 $!$-拉回; 注意对于 $k_0$-概形 $X_0$, 也可定义其上的层的 Tate 扭, 那就是与拉回 Galois 表示得到的局部系统作张量积.

… $$ \omega_{X_0\times Y_0} \simeq \omega_{X_0} \otimes \omega_{Y_0}. $$

…我们需要找特征值为 $q^{d/2}$ 的东西…

混合层

称 $F_0\in\mathsf{Sh}(X_0)$ 以权 $w$ 逐点纯 (punctually pure of weight $w$) 是指其任意闭点 $x\in X_0$ 的茎 $F_{\bar x}$ 上的 $\operatorname{Gal}(\mathbb F_{q_x})$-作用中 Frobenius 元素的特征值为代数数, 且绝对值等于 $q_x^{w/2}$ (这绝对值不依赖于嵌入 $\mathbb{C}$ 的方式).

例如 $E(d)$ 是逐点纯的, 有权 $-2d$. 注意 $\omega_{X_0} = E(d)[2d] = \mathbb D E$, 而 $E$ 的权是 $0$. 我们希望

混合层 (mixed sheaves) 是有逐次逐点纯的滤过的层.

“逐点纯” 考虑的是茎, 而我们还有更强的 “纯” 的概念, 不仅涉及到茎还涉及到余茎 (costalk).

定义. 对于 $F_0\in D^b_c(X_0)$, 令

$F_0\in D^b_{\leq w}(X_0)$ 当且仅当 $H^i(F_0)$ 是权 $\leq w+i$ 的混合层;
$F_0\in D^b_{\geq w}(X_0)$ 当且仅当 $\mathbb D F_0\in D_{\leq -w}^b(X_0)$. 这涉及到余茎.
称 $F_0$ 以权 $w$ 纯就是说 $F_0\in D^b_{\leq w}(X_0)\cap D^b_{\geq w}(X_0)$.

注. 权不是 $t$-结构, 但有近似的正交性.

命题. 设 $M_0\in D^b_{\leq w}(X_0),N_0\in D^b_{\geq w+1}(X_0)$, 则相应的 $D^b(X)$ 的对象之间同态的 Frobenius 不动点平凡: $$ \operatorname{Hom}(M,N)^{\mathrm{Frob}} = 0. $$

例. $\operatorname{Spec}\mathbb F_q$ 上有个不平凡的映射 $E\to E(1)$.

命题. 设 $M_0\in D^b_{\leq w}(X_0),N_0\in D^b_{\geq w+2}(X_0)$, 则 $\operatorname{Hom}(M_0,N_0) = 0$.

Weil I, Weil II

设 $X_0$ 为曲线, $L$ 为纯权 $w$ lisse 层. Deligne 证明了 $H^1_c (L)$ 的权 $\leq w+1$.

偏屈层课程小结 [notes-perverse-summary]

百科
SimplicialCat

学期进行到一半, 让 AI 帮忙用我熟悉的观点总结了一下课程内容.

以下内容由 AI 生成.

这门课的主线可以先压缩成一句话:

在奇性空间上构造一个与 Verdier 对偶相容的 Abel 范畴 $\mathsf{Perv}(X)$; 其单对象是由局部系统作中间延拓得到的 $\mathrm{IC}$ 层; 随后用算术权重证明, 紧合映射推前的 $\mathrm{IC}$ 层自动分裂为半单偏屈层.

因此, 课程的前半部分是在构造并研究 $\mathsf{Perv}(X)$, 后半部分则是在证明其中的分解定理. 下面按这条主线重新组织.

一、六函子给出了奇性空间上的相对对偶理论

在 Betti 情形, 可以先考虑空间值层的 $\infty$-意象 $\operatorname{Shv}(X)$, 再稳定化并取 $\mathbb Q$-线性系数, 得到稳定 $\infty$-范畴

$$ \mathcal D(X):=\operatorname{Shv}\bigl(X;\operatorname{Mod}_{\mathbb Q}\bigr). $$

有界可构造对象构成全子范畴 $D_c^b(X)$. 可构造性要求存在有限分层, 使限制到每一层后成为局部系统. 在合适的正则分层假设下, 也可以用出路 $\infty$-范畴理解它: 可构造层大致是

$$ \operatorname{Exit}_{\mathcal S}(X)\longrightarrow \operatorname{Mod}_{\mathbb Q} $$

的函子, 再附加有界性等条件. 每一层上的局部系统记录层内单值化, 而不同层之间的态射记录特殊化信息.

六函子则是在这些范畴之间建立统一的函子形式:

$$ f^*\dashv f_*,\qquad f_!\dashv f^!, $$

再加上内 $\operatorname{Hom}$ 与 $\otimes$. 其中 $f^*,f_*$ 是普通几何态射具有的拉回与推前; $f_!,f^!$ 是带支集条件的另一对推出与拉回. 开嵌入满足 $j^!=j^*$, 紧合映射满足 $f_!=f_*$.

Verdier 对偶由对偶化对象

$$ \omega_X=p^!\mathbb Q $$

定义:

$$ \mathbb D_X(F)=\underline{\operatorname{Hom}}(F,\omega_X). $$

它交换两套函子:

$$ \mathbb D_Yf_!\simeq f_*\mathbb D_X,\qquad \mathbb D_Xf^!\simeq f^*\mathbb D_Y. $$

所以, 六函子同时表达了普通上同调、紧支上同调、茎与余茎.

Poincaré 对偶是这一形式在光滑紧合空间上的特例. 课程一开始的问题便是: 当 $X$ 有奇点时, 应当把什么对象放在常值层的位置, 才能恢复这种对偶性？

答案将是 $\mathrm{IC}_X$.

二、偏屈 $t$-结构是与 Verdier 对偶相容的粘合 $t$-结构

普通 $t$-结构的心是可构造层, 但它与 Verdier 对偶不相容. 例如在光滑的复 $d$ 维空间上,

$$ \omega_X\simeq \mathbb Q_X[2d], $$

所以

$$ \mathbb D_X(\mathbb Q_X)\simeq\mathbb Q_X[2d]. $$

常值层被对偶移动了 $2d$ 个上同调次数. 若希望局部系统与其对偶处于同一个心中, 自然的修正是考虑

$$ \mathcal L[d]. $$

这就是光滑空间上偏屈 $t$-结构的来源: 把普通 $t$-结构平移 $d$, 使 $\mathcal L[d]$ 位于心中. 此时

$$ \mathbb D_X(\mathcal L[d]) $$

仍具有相同的形式.

有奇点时, 需要把各层上的这种平移 $t$-结构粘起来. 设

$$ j\colon U\hookrightarrow X,\qquad i\colon Z\hookrightarrow X $$

分别是开嵌入与其补闭嵌入. 此时有开闭分解给出的再黏合结构:

$$ j_!\dashv j^*=j^!\dashv j_*,\qquad i^*\dashv i_*=i_!\dashv i^!. $$

给定 $U$ 与 $Z$ 上的 $t$-结构, 粘合后的两侧定义为

$$ F\in{}^{p}D^{\leq0}(X) \iff j^*F\in{}^{p}D^{\leq0}(U),\quad i^*F\in{}^{p}D^{\leq0}(Z), $$

以及

$$ F\in{}^{p}D^{\geq0}(X) \iff j^*F\in{}^{p}D^{\geq0}(U),\quad i^!F\in{}^{p}D^{\geq0}(Z). $$

这里出现了茎 $i^*$ 与余茎 $i^!$ 两个条件. 它们分别控制对象在闭层上的“上同调支集”与“局部上同调支集”. 逐层迭代这个粘合过程, 就得到笔记中的条件:

$$ H^r(i_\alpha^*F)=0\qquad(r>-\dim S_\alpha), $$

$$ H^r(i_\alpha^!F)=0\qquad(r<-\dim S_\alpha). $$

这种对称安排使 Verdier 对偶交换 $\leq0$ 与 $\geq0$ 的条件, 从而保持整个偏屈 $t$-结构. 因此

$$ \mathbb D_X\bigl(\mathsf{Perv}(X)\bigr) =\mathsf{Perv}(X). $$

所以, 偏屈 $t$-结构的核心性质是: 它由分层维数规范化, 并且在开闭分解下粘合, 同时被 Verdier 对偶保持.

三、$\mathrm{IC}$ 是边界上没有多余子对象和商对象的延拓

有了偏屈心, 就可以解释 $j_!$ 与 $j_*$ 之间的比较映射为何重要.

对开嵌入 $j\colon U\hookrightarrow X$, 有自然变换

$$ j_!\longrightarrow j_*. $$

经过偏屈截断后, 得到心中的函子

$$ {}^{p}j_!,\ {}^{p}j_*\colon \mathsf{Perv}(U)\longrightarrow\mathsf{Perv}(X), $$

以及自然变换 ${}^{p}j_!\to{}^{p}j_*$. 中间延拓定义为它在 Abel 范畴 $\mathsf{Perv}(X)$ 中的像:

$$ j_{!*}(F):= \operatorname{im}\bigl({}^{p}j_!F\to{}^{p}j_*F\bigr). $$

其中:

${}^{p}j_!F$ 是偏小的延拓, 容易带有支在边界上的商对象;
${}^{p}j_*F$ 是偏大的延拓, 容易带有支在边界上的子对象;
$j_{!*}F$ 去掉这两类边界贡献.

它的内蕴刻画正是笔记中的唯一性命题: $j_{!*}F$ 限制回 $U$ 得到 $F$, 并且没有非平凡的、支在 $X\setminus U$ 上的子对象或商对象.

于是, 对光滑稠密开集 $U\subset X$, 定义

$$ \mathrm{IC}_X:=j_{!*}\bigl(\mathbb Q_U[\dim X]\bigr). $$

由刻画可直接得到

$$ \mathbb D_X\mathrm{IC}_X\simeq\mathrm{IC}_X. $$

结曲线的例子展示了这一构造的效果: 正规化 $\nu\colon\widetilde C\to C$ 给出

$$ \mathrm{IC}_C\simeq\nu_*\mathbb Q_{\widetilde C}[1], $$

它消除了普通常值层在结点处产生的额外一维上同调, 使相交上同调恢复 Poincaré 对偶.

不过, 笔记第 1 讲中“一般的 $X$ 的 IC 层是奇点消解的常值层的推前”需要修正. 对任意奇点消解 $\pi\colon\widetilde X\to X$, 通常只有

$$ \mathrm{IC}_X \quad\text{是}\quad \pi_*\mathrm{IC}_{\widetilde X} $$

的一个直和项, 一般不与其相等. 你后面写下的吹起例子恰好说明了这一点: 多出来的例外除子会贡献另外的直和项. 这个“多出来什么、为何仍然分裂”的问题, 正是分解定理处理的内容.

四、偏屈心的单对象完全由局部系统控制

中间延拓还解释了偏屈层的分类定理.

若 $Z\subset X$ 是不可约闭子簇, $V\subset Z$ 是光滑稠密开集, $\mathcal L$ 是 $V$ 上的不可约局部系统, 那么沿 $V\hookrightarrow Z$ 作中间延拓, 再推前到 $X$, 得到

$$ \mathrm{IC}_Z(\mathcal L). $$

单偏屈层恰好都是这种对象. 换言之, 单对象由两项资料决定:

一个不可约闭子簇 $Z$;
其光滑开集上的一个不可约局部系统, 即基本群的一个不可约表示.

而 $\mathsf{Perv}(X)$ 中每个对象都有有限长度, 所以任意偏屈层都可以经过有限次扩张, 由这些 $\mathrm{IC}_Z(\mathcal L)$ 构成.

这说明偏屈心同时具有两种描述:

几何描述: $D_c^b(X)$ 中满足茎、余茎振幅条件的对象;
Abel 范畴描述: 由局部系统的中间延拓生成的有限长度范畴.

课程前半部分的终点, 就是建立了这两种描述之间的联系.

五、半小性控制振幅, 分解定理进一步给出分裂

接下来研究 $f_*,f_!,f^*,f^!$ 对偏屈 $t$-结构的作用.

一般纤维维数只能给出振幅估计: 纤维至多为 $d$ 维时, 上述函子最多把偏屈对象移动 $d$ 个次数. 半小性则对“大纤维只能出现在余维足够大的闭集上”作出限制:

$$ \dim\{y\mid \dim f^{-1}(y)\geq r\} \leq \dim X-2r. $$

这个 $2r$ 正好抵消推前产生的偏屈振幅. 因此, 对光滑 $X$ 上的半小映射 $f$,

$$ f_*\mathrm{IC}_X $$

仍是偏屈层, 而不只是一个具有有限偏屈振幅的复形.

但 BBDG 分解定理更强. 对任意紧合映射 $f$, 它断言

$$ f_*\mathrm{IC}_X \simeq \bigoplus_r {}^{p}H^r(f_*\mathrm{IC}_X)[-r], $$

并且每个 ${}^{p}H^r(f_*\mathrm{IC}_X)$ 都是半单偏屈层.

用稳定 $\infty$-范畴的语言说, 这里有两个独立结论:

相对于偏屈 $t$-结构的形式性: 对象等价于其各偏屈上同调对象的移位直和;
半单性: 这些偏屈上同调对象本身分解为单偏屈层的直和.

若 $f$ 还是半小的, 则所有非零偏屈次数都不出现, 于是 $f_*\mathrm{IC}_X$ 直接是半单偏屈层, 因而分解为若干 $\mathrm{IC}_Z(\mathcal L)$.

光滑射影映射的情形是这一结论的预演. Hard Lefschetz 给出

$$ \eta^r\colon H^{-r}(K)\xrightarrow{\sim}H^r(K), $$

Deligne 分裂判据再利用这种左右对称性证明 $K$ 分裂为普通上同调对象的直和. 一般紧合映射没有这样直接的相对 Hard Lefschetz 输入, 课程随后改用算术权重完成证明.

六、权重理论提供使分裂必然发生的正交性

转到有限域后, 关键在于 $X_0$ 比其几何基变换 $X=X_0\times_{\mathbb F_q}\overline{\mathbb F}_q$ 多带一层算术结构. 平展基本群序列

$$ \pi_1^{\mathrm{\acute et}}(X) \longrightarrow \pi_1^{\mathrm{\acute et}}(X_0) \longrightarrow \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F}_q/\mathbb F_q) $$

把几何单值化与算术 Frobenius 作用区分开来. 权重正是由 Frobenius 在茎上的特征值定义的.

Tate 扭则记录循环 Galois 特征. 用意象论的语言, 它是从 $\operatorname{Spec}\mathbb F_q$ 拉回一个秩一局部系统, 再与原层作张量积. 按笔记的约定, $E(1)$ 的权为 $-2$; 上同调移位也会改变权, 所以“权”与普通上同调次数是两套不同的指标.

混合层允许有一个逐次纯的滤过. 纯对象则同时受到茎与余茎条件的限制, 后者通过对偶条件表达. Weil II 提供的关键输入包括:

六函子对权重的估计与保持性质;
紧合推前保持纯性;
纯偏屈层的半单性;
不同权重之间的同态消失.

若 $K=f_*\mathrm{IC}_X$ 纯权 $w$, 则其各偏屈上同调对象满足

$$ {}^{p}H^r(K) \quad\text{纯权 }w+r. $$

于是, 不同偏屈次数对应不同权重. 笔记最后的两条正交性说明:

权重相差至少 $1$ 时, 几何对象之间没有 Frobenius 不变的同态;
权重相差至少 $2$ 时, 算术导出范畴中的相应同态也消失.

这些消失条件排除了不同偏屈上同调块之间的映射与扩张, 从而得到

$$ K\simeq\bigoplus_r{}^{p}H^r(K)[-r]. $$

同时, 纯偏屈层的半单性把每一块继续分解为 $\mathrm{IC}_Z(\mathcal L)$.

所以后半课程的逻辑可以概括为:

$$ \boxed{\text{Frobenius 权重} \;\Longrightarrow\; \text{不同权块之间的同态与扩张消失} \;\Longrightarrow\; \text{形式性与半单性}.} $$

最后, 通过有限生成底概形上的展开、有限域特殊化以及 Betti–平展比较, 把结论传回复代数簇.

七、整门课的总体结构

把七讲连起来, 就是下面这条链:

$$ \begin{aligned} &\text{奇性空间上的 Poincaré 对偶失效}\\ &\quad\leadsto\ \text{建立可构造导出范畴与六函子}\\ &\quad\leadsto\ \text{构造被 Verdier 对偶保持的偏屈 }t\text{-结构}\\ &\quad\leadsto\ \text{用中间延拓定义自对偶的 }\mathrm{IC}\text{ 层}\\ &\quad\leadsto\ \text{证明偏屈心有限长度并分类单对象}\\ &\quad\leadsto\ \text{研究推前的偏屈振幅与半小性}\\ &\quad\leadsto\ \text{用 Frobenius 权重证明 BBDG 分解与半单性}. \end{aligned} $$

其中最值得始终保留的三个现代观点是: 开闭分解给出再黏合; 偏屈 $t$-结构是逐层平移后再黏合得到的自对偶心; 分解定理则是权重正交性迫使稳定范畴中的对象按其偏屈上同调分裂.