导出范畴 [导出范畴]

观念

Abel 范畴 $\mathcal A$ 的导出范畴是万有的以 $\mathcal A$ 为心的稳定 $\infty$-范畴.

导出范畴也可视为生象化的稳定化.

导出范畴的一个模型是将链复形之间的拟同构视为同构, 即对拟同构作局部化. 此时 $\mathcal A$ 中的对象可视为聚集在 $0$ 位置的链复形.

相关讲义: 导出范畴

定义

泛性质

参考 HA 1.3.3 节.

模型

设 $\mathcal A$ 为 Abel 范畴. 记 $W$ 为 $\mathcal A$ 中拟同构的全体, 定义导出范畴 $\mathsf{D}(\mathcal A)$ 为局部化 $$ \mathsf D(\mathcal A) := \mathsf {Ch}(\mathcal A)[W^{-1}]. $$

性质

在 $\mathcal A$ 为 Grothendieck Abel 范畴的前提下, $\mathsf {D}(\mathcal A)$ 是稳定无穷范畴.

$t$-结构

导出范畴带有自然的 $t$-结构. 链复形 $X= (X_\bullet)$ 代表的对象的截断分别为

同调指标:

$$ \tau_{\leq n}X = (\cdots\to 0\to \operatorname{coker}d_{n+1}\to X_{n-1}\to\cdots), $$ $$ \tau_{\geq n}X = (\cdots\to X_{n+1}\to \operatorname{ker}d_{n}\to 0\to\cdots). $$

上同调指标:

$$ \tau^{\geq n}X = (\cdots\to 0\to \operatorname{coker}d^{n-1}\to X^{n+1}\to\cdots), $$ $$ \tau^{\leq n}X = (\cdots\to X^{n-1}\to \operatorname{ker}d^{n}\to 0\to\cdots). $$

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