三角范畴是范畴上的一种结构, 最早由 Verdier (1963年) 从导出范畴的结构抽象而来.
定义
设 $\mathsf D$ 为加性范畴. (若它是 Abel 范畴, 则一切都是显然的.) 三角范畴的结构包括位移函子 (shift functor) $T\colon \mathsf D\to \mathsf D$ (加性等价), 以及一族特殊三角 (distinguished triangle, 或正合三角 exact triangle) $A\to B\to C\to T(A)$. 有时我们又将 $T(A)$ 记作 $A[1]$, 记 $[n]$ 为其 $n$ 次复合.
特殊三角满足如下公理.
TR1.
- 对任意对象 $A$, $A\overset{\operatorname{id}}{\to} A \to 0 \to A[1]$ 是特殊三角.
- 同构于特殊三角的三角也是特殊三角.
- 任意态射 $f$ 都可补全为特殊三角 $A\overset f\to B\to C\to A[1]$.
TR2 (旋转公理).
如下两个三角, 若其中之一是特殊三角, 则另一个也是特殊三角:
$$
A \overset{f}{\to} B \overset{g}{\to} C \overset{h}{\to} A[1],
$$
$$
B \overset{g}{\to} C \overset{h}{\to} A[1]\overset{-f[1]}{\to}B[1].
$$
通常我们如下画特殊三角:
$$
\begin{array}
{ccc}
X & \to & Y\\
&\hspace{-1em}_{+1}\nwarrow\quad\quad\swarrow&\\
&Z&
\end{array}
$$
TR3 (锥的弱唯一性).
存在 (但不唯一) 态射使下图交换:
$$
\begin{array}
{ccccccc}
X & \to & Y & \to & Z & \to & X[1]\\
\downarrow & &\downarrow & &\downarrow\exists\hspace{-1em} & &\downarrow\\
X' & \to & Y' & \to & Z' & \to & X'[1]
\end{array}
$$
(问题: 什么意义下它唯一? coherence?)
TR4 (八面体公理).
(理论成功的关键)
$$
\begin{array}
{ccccccc}
X & \to & Y & \to & Q_1 & \to & X[1]\\
& \searrow & \downarrow && \downarrow &&\\
&&Z & \to & Q_2 & \to & X[1]\\
&&\downarrow & \swarrow\\
&& Q_3\\
&& \downarrow\\
&& Y[1]
\end{array}
$$
若有 $X\to Y\to Z$, 则有特殊三角 $Q_1\to Q_2\to Q_3$.
同调函子
函子 $F\colon \mathsf D\to\mathsf {Ab}$ 称为同调函子是指它将特殊三角 $X\to Y\to Z\to X[1]$ 对应到正合列 $F(X)\to F(Y)\to F(Z)$.
例. 对任意 $W\in \mathsf D$, $\operatorname{Hom}(W,-)$ 是同调函子. 这是由于如下图表:
$$
\begin{array}
{ccccccc}
W & = & W & \to & 0 & \to & W[1]\\
\downarrow\exists\hspace{-1em} & &\downarrow & &\downarrow & &\downarrow\exists\hspace{-1em}\\
X & \to & Y & \to & Z & \to & X[1]
\end{array}
$$
性质
若 $X\overset{f}{\to} Y\overset{g}{\to} Z\to X[1]$ 是特殊三角, 则 $gf=0$. 这是由于如下图表:
$$
\begin{array}
{ccccccc}
X & = & X & \to & 0 & \to & X[1]\\
\downarrow & &\downarrow f\hspace{-1em} & &\downarrow\exists\hspace{-1em} & &\downarrow\\
X & \underset{f}{\to} & Y & \underset{g}{\to} & Z & \to & X[1]
\end{array}
$$
同伦范畴
加性范畴 $\mathcal A$ 的链复形无穷范畴 $\mathsf {Ch}(\mathcal A)$ 的链复形范畴的同伦范畴 $\mathsf K(\mathcal A)$ (态射是链映射的同伦类) 是三角范畴.