六函子 [six-functors]

  • 笔记

本文是 Scholze 的六函子讲义的阅读笔记.

引言

六函子是一种出现于许多场合的体系:

我们以良好拓扑空间上的六函子逐步引入正题. 记 $D(X,\mathbb{Z})$ 为空间 $X$ 上 Abel 层的导出范畴. 对于映射 $f\colon X\to Y$, 层的拉回

  • $f^*\colon D(Y,\mathbb{Z}) \to D(X,\mathbb{Z})$

有右伴随

  • $f_* \colon D(X,\mathbb{Z})\to D(Y,\mathbb{Z})$,

这是上同调的相对版本. 当 $Y=*$ 时, 记 $f_*$ 为 $R\Gamma(X,-)$.

为了得到 Künneth 公式, 我们需要张量积

  • $(-)\otimes (-)\colon D(X,\mathbb{Z})\times D(X,\mathbb{Z})\to D(X,\mathbb{Z})$,

其有第二分量的右伴随

  • $\underline{\operatorname{Hom}}(-,-)\colon D(X,\mathbb{Z})^\mathrm{op}\times D(X,\mathbb{Z}) \to D(X,\mathbb{Z})$.

张量积与拉回相容, 即 $f^*$ 构成对称幺半函子. 此外有投影公式 $$ f_*A \otimes B \simeq f_*(A\otimes f^*B). $$ 这意味着, 由对称幺半函子 $f^*$ 视 $D(X,\mathbb{Z})$ 为 $D(Y,\mathbb{Z})$-模, 则 $f_*$ 是 $D(Y,\mathbb{Z})$-线性函子.

投影公式中的函子来自如下函子的伴随. $$ f^*(f_* A \otimes B)\simeq f^*f_*A \otimes f^*B \to A\otimes f^* B. $$ 使用该公式可证明 Künneth 公式.

定向流形的上同调满足 Poincaré 对偶:

定理 (Poincaré 对偶). 对于紧定向 $d$ 维流形 $X$, $$ R\Gamma(X,\mathbb{Z})[d] \simeq R\Gamma(X,\mathbb{Z})^\vee. $$ 其中 $(-)^\vee := \underline{\operatorname{Hom}}(-,\mathbb{Z})$.

Poincaré 对偶来自如下更广泛的现象: $f_*\colon D(X,\mathbb{Z})\to D(*,\mathbb{Z})$ 有右伴随 $f^*(-) [d]$, 即 $$ \operatorname{Hom}_{D(X,\mathbb{Z})}(A,f^*B[d]) \simeq \operatorname{Hom}_{D(*,\mathbb{Z})}(R\Gamma(X,A),B). $$ 取 $A = \underline{\mathbb{Z}}\in D(X,\mathbb{Z})$, $B = \mathbb{Z}\in D(*,\mathbb{Z})$ 即得 Poincaré 对偶.

这件事的相对版本是 Verdier 对偶:

定理 (Verdier 对偶). 设 $f\colon X\to Y$ 为紧合映射, 且在 $X,Y$ 的局部上为 $d$ 维圆盘的丛, 称之为流形丛. 那么 $f_*\colon D(X,\mathbb{Z}) \to D(Y,\mathbb{Z})$ 有右伴随 $$ f^* \otimes \omega_{X/Y}, $$ 其中 $\omega_{X/Y}\in D(X,\mathbb{Z})$ 是某个层, 局部同构于 $\mathbb{Z}[d]$.

前面的 $X$ 的定向条件确保 $\omega_{X/*} \simeq \mathbb{Z}[d]$ 在整体上成立.

我们还可以对一般的映射 $f$ 叙述 Verdier 对偶, 仅要求局部条件 (局部上为圆盘丛) 而非整体条件. 这需要紧支前推

  • $f_!\colon D(X,\mathbb{Z})\to D(Y,\mathbb{Z})$

及其右伴随

  • $f^!\colon D(Y,\mathbb{Z}) \to D(X,\mathbb{Z})$.

定理 (Verdier 对偶). 设 $f\colon X\to Y$ 为流形丛, 相对维数为 $d$, 则 $f^! \simeq f^* \otimes\omega_{X/Y}$, 其中 $\omega_{X/Y} = f^!\mathbb{Z}$.

对于紧合映射 $f$, 有 $f_! = f_*$.

六函子体系

设 $\mathcal C$ 是一类几何对象的范畴, $E$ 是其中的一类态射, 满足如下条件:

六函子大致是指如下数据:

  • 对每个 $X\in\mathcal C$ 指定一个对称幺半范畴 $D(X)$;
  • 对每个态射 $f\colon X\to Y$, 有对称幺半的拉回函子 $f^*\colon D(Y)\to D(X)$;
  • 对 $E$ 中的每个态射 $f\colon X\to Y$, 有 “紧支前推” $f_!\colon D(X)\to D(Y)$;
  • 三个函子 $A\otimes (-)$, $f^*$, $f_!$ 分别有右伴随 $\operatorname{Hom}(A,-)$, $f_*$, $f^!$;
  • 对 $E$ 中的态射 $f$ 的基变换
    (当然 $f'$ 也在 $E$ 中), 有同构 $$ g^*f_! \simeq f'_! {g'}^*. $$
  • 对 $E$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 有投影公式 $$ f_! A \otimes B \simeq f_!(A\otimes f^*B). $$

用关系范畴可以给出一种严格的叙述.

定义 $\mathsf{Corr}(\mathcal C,E)$ 为如下对称幺半范畴:

  • 对象为 $\mathcal C$ 的对象,
  • 对称幺半结构为 $\mathcal C$ 中的积;
  • 态射为如下的关系 (correspondence),
    其中 $g\in E$;
  • 态射的复合如下,
    其中方块为拉回.

定义. 三函子体系是松对称幺半函子 $$ D \colon \mathsf{Corr}(\mathcal C,E) \to \mathsf{Cat}. $$

  • 对 $X\in\mathcal C$, 该函子给出范畴 $D(X)$.
  • 对 $\mathcal C$ 中任意态射 $f\colon X\to Y$, 对应 $(Y \overset{f}{\leftarrow} X = X)$ 给出拉回函子 $f^*$.
  • 由于 $X$ 是交换余代数 (余乘法为对角线) 而 $D$ 给出松对称幺半函子 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Cat}$, 故 $D(X)$ 为 $\mathsf{Cat}$ 中的交换代数, 即对称幺半范畴.
  • 对 $E$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 对应 $(X = X \overset{f}{\to} Y)$ 给出函子 $f_!\colon D(X)\to D(Y)$.
  • 一般地, 对应 $(X\overset{f}{\leftarrow} W \overset{g}{\to} Y)$ 给出 “拉-推” 函子 $g_! f^*\colon D(X)\to D(Y)$.