几何 Langlands 纲领 [GeoLang2]
几何 Langlands 纲领 [GeoLang2]
本文是 Peter Scholze 2026 年 3 月在 Bourbaki 研讨会上作的报告的阅读笔记.
1. 引言
Langlands 纲领的核心是描述自守函数的空间.
固定 Riemann 对称空间 $M$, 考虑局部同构于 $M$ 的 Riemann 流形 $N$. 若 $N$ 连通完备, 则其为局部对称空间 $M/\Gamma$, $\Gamma = \pi_1(N)$ 为 $G$ 的离散子群. 自守函数其实就是 $M / \Gamma$ 上的函数. 一些刚性定理指出 $G$ 是个约化线性代数群, $\Gamma\subset G$ 是个算术子群 (arithmetic subgroup).
暂且忽略细节, 记 $\mathcal A(-)$ 为某种好的函数的空间.
Lie 群 $G$ 在 $M$ 上的作用给出 Lie 代数 $\mathfrak g$ 在 $\mathcal A(M)$ 上的作用, 其泛包络代数的中心 $Z(U\mathfrak g)$ 在 $\mathcal A(M)$ 上的作用诱导 $\mathcal A(M/\Gamma)$ 上的作用, 其中包括 Laplace 算子.
猜想. $$ \mathcal A(M / \Gamma) \simeq \Gamma (\mathrm{LocSys}_{\check{G}},\omega_{\mathrm{LocSys}_{\check{G}}}) $$
这个猜想包含两部分,
- $\mathcal A(M/\Gamma)$ 可以提升为 $\mathrm{LocSys}_{\check{G}}$ 上的一个拟凝聚层;
- 这个拟凝聚层是对偶复形.
2. 几何 Langlands 等价
3. $\mathrm{Bun}_G$ 上的层
4. 局部系统的叠
5. 谱作用
定理 (Nadler–恽). 设 $\mathcal C \in \mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}_e$, 则其上的 $D_{\mathrm{qc}}(\mathrm{LocSys}_{\check G}^{\text{Betti}})$-作用等同于一族正合函子 $$ \mathsf{Rep}(\check{G}^I) \to \operatorname{End}(\mathcal C)^{\mathbf{B}\pi_1^I}, $$ 其中 $I$ 为有限集.
$\mathrm{LocSys}_{\check G}^{\text{Betti}}$ 作为格式塔是映射空间 $\operatorname{Map}(*/\pi_1,*/\check{G})$.