局部对称空间 [局部对称空间]

定义

设 $M$ 为完备 Riemann 流形. 对任一点 $x\in M$, 存在邻域 $U$ 满足

• $U$ 中任一点到 $x$ 有唯一的包含于 $U$ 的测地线;
• 存在星形区域 $V\subset T_x M$, 关于 $0$ 对称, 使得指数映射 $\exp \colon V\to U$ 为微分同胚.

此时, $V$ 上的映射 $v\mapsto -v$ 给出微分同胚 $s_x\colon U\to U$.

若对任意 $x\in M$, $s_x$ 为局部等距同构, 则称 $M$ 为局部对称空间 (locally symmetric space).

例