“在范畴上做代数” 指的是一种范畴化, 将交换代数等概念应用于可表现范畴的范畴 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$ (简记为 $\mathsf{Pr}$).

本文中所有的 $n$-范畴指的是 $(\infty ,n)$-范畴.

下面的定理说明, 在一个 $1$-范畴 $\mathcal C$ 中做的 “普通的代数”, 可以通过取模范畴这一操作, 嵌入到 “在范畴上做的代数”.

定理. 对于可表现的对称幺半范畴 $\mathcal C\in\mathsf{CAlg}(\mathsf{Pr})$, 有全忠实函子 $$ \mathsf{Mod}_{\mathcal C}(-)\colon \mathsf{CAlg}(\mathcal C) \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathcal C)), $$ 且其有右伴随 $\mathcal D\mapsto \operatorname{End}_{\mathcal D}(1)$.

回忆, 对于 $\mathcal D\in\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathcal C)$, 有函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,-)\colon \mathcal D^{\mathrm{op}}\times\mathcal D \to\mathcal C$, 满足 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(Y,Z))\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(X\otimes Y,Z); $$ 也即 $\operatorname{Hom}(Y,-)\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 是 $(-)\otimes Y\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 的右伴随 (注意 $(-)\otimes Y\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 保持余极限). 这就是说, $\mathsf{Pr}$ 中的 $\mathcal C$-模可视为 $\mathcal C$-充实范畴.

对于 $\mathcal D\in\mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathcal C))$, 记 $1\in\mathcal D$ 为其单位, $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$ 为函子 $(-)\otimes 1$; 则 $$ \operatorname{End}_{\mathcal D}(1) := \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(1,1) = F^R (1), $$ 其中 $F^R$ 为 $F$ 的右伴随; 因而 $\operatorname{End}_{\mathcal D}(1)$ 继承 $1$ 的交换代数结构. 这给出了上述定理中的函子 $\mathcal D\mapsto \operatorname{End}_{\mathcal D}(1)$.

由于 $\mathsf{Mod}_{\mathcal C}(-)$ 有右伴随, 其保持所有余极限; 特别地, 保持交换代数的相对张量积: $$ \mathsf{Mod}(A)\otimes_{\mathsf{Mod}(C)}\mathsf{Mod}(B) \simeq\mathsf{Mod}(A\otimes_C B). $$ 换言之, 在范畴层面可以忠实地复刻代数的张量积这一关键操作.

在上述定理中取 $\mathcal C = \mathsf{Pr}$ ¹, 我们得到一个函子 $$ \mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(-) \colon \mathsf{CAlg}(\mathsf{Pr}) \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathsf{Pr})). $$ 我们称 $\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(\mathsf{Pr})$ 为 $2\mathsf{Pr}$, 即 “可表现 $2$-范畴” 的范畴. ² 可表现 $2$-范畴是 “充实于 $\mathsf{Pr}$ 的可表现范畴”.

再取 $\mathcal C = 2\mathsf{Pr}$, 得到函子 $$ \mathsf{Mod}_{2\mathsf{Pr}}(-) \colon \mathsf{CAlg}(2\mathsf{Pr}) \to \mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(2\mathsf{Pr})). $$ 定义 $\mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}}(2\mathsf{Pr})$ 为 $3\mathsf{Pr}$, 这个过程可以重复下去, 定义 “可表现 $n$-范畴的范畴” $n\mathsf{Pr} \in \mathsf{Pr}$. 可表现 $n$-范畴是 “充实于 $(n-1)\mathsf{Pr}$ 的可表现范畴”.

我们看数学实践中常用的一个代数语境, 即 $\mathbb E_\infty$-环谱, 是如何置入上述范畴代数当中的. 记 $\mathcal C$ 为 $\mathbb E_\infty$-环谱 (又称 $\mathbb E_\infty$-$\mathbb S$-代数) 的范畴的对偶. 记 $\mathcal C$ 的对象为 $\operatorname{Spec}A$, 想象为 “仿射概形”.

对于 $\mathbb E_\infty$-环谱 $A$, 归纳定义

• $0\mathsf{Pr}_A := \mathsf{Mod}(A)$,
• $(n+1)\mathsf{Pr}_A := \mathsf{Mod}_{\mathsf{Pr}} (n\mathsf{Pr}_A)$;

对于交换环 $A$, 其模范畴 $\mathsf{Mod}(A)$ 为可表现对称幺半范畴. 许多对于环可以讨论的事情可以在范畴层面讨论. 换言之, 可表现对称幺半范畴是环的推广.

推广不会仅做一次就停止. 对于可表现对称幺半范畴 $\mathcal A$, 其在 $\mathsf{Pr}$ 中的模范畴为可表现对称幺半 $2$-范畴, 这种对象又可视为可表现对称幺半范畴的推广. 以此类推至于无穷, 就得到 Stefanich 环的概念.

定义. Stafanich 环的范畴 $\mathsf{StRing}$ 是如下 $\aleph_1$-可表现范畴: $$ \begin{aligned} \mathsf{StRing} &= \operatorname{colim}^{1\mathsf{Pr}}(\mathsf{CAlg}(\mathsf{Ani})\hookrightarrow\mathsf{CAlg}(1\mathsf{Pr})\hookrightarrow\cdots)\\ &= \operatorname{lim}^{\mathsf{Cat}}(\mathsf{CAlg}(\mathsf{Ani})\leftarrow\mathsf{CAlg}(1\mathsf{Pr})\leftarrow\cdots). \end{aligned} $$

由于上述第二行定义, $\mathsf{StRing}$ 的一个对象可写为 $A = (A_0,A_1,A_2,\cdots)$, $A_n\in\mathsf{CAlg}(n\mathsf{Pr})$, 带有等价 $A_n = \operatorname{End}_{A_{n+1}}(1)$. 事实上, 这一串等价 $$ A_n = \operatorname{End}_{A_{n+1}}(1) = \operatorname{End}_{\operatorname{End}_{A_{n+2}}(1)}(1) = \cdots $$ 自动给出 $A_n$ 的交换代数结构.

$\mathsf{StRing}$ 的始对象是 $(*,\mathsf{Ani},1\mathsf{Pr},\cdots)$; 即任何 Stefanich 环 $A$ 都带有一列函子 $(n-1)\mathsf{Pr} \to A_n$. 这可以如下理解: $A_n$ 是 $n\mathsf{Pr}$ 中的交换代数, 而 $n\mathsf{Pr}$ 是 $1\mathsf{Pr}$ 中 $(n-1)\mathsf{Pr}$-模的范畴. 模范畴中的交换代数相当于原范畴中的交换代数带有代数同态; 故 $A_n$ 带有代数同态 $(n-1)\mathsf{Pr} \to A_n$.

Stefanich 环的态射 $f\colon A\to B$ 是一族相容的交换代数同态 $A_n \to B_n$. 我们采用一个看似 “错位” 的记号 $f^*_{n-1}\colon A_n\to B_n$ 来表示这个同态.¹

由定义, $f^*_{n-1}\colon A_n\to B_n$ 是可表现范畴之间保持余极限的函子, 从而有右伴随 $f_{n-1,*}\colon B_n\to A_n$. 它自动构成松对称幺半函子, 从而给出交换代数范畴之间的函子 $f_{n-1,*} \colon \mathsf{CAlg}(B_n) \to \mathsf{CAlg}(A_n)$. 此时 $1_{B_n}\in\mathsf{CAlg}(B_n)$ 给出 $A_n$ 中的交换代数, 记作 $$ (B/A)_{n-1} := f_{n-1,*}(1_{B_n}) \in \mathsf{CAlg}(A_n). $$

这可视为 $B$ 在 $A$ 上的一种相对观点, 正如在代数几何中我们常常固定一个基环 $A$ 考虑 $A$-代数一样. 而 “绝对” 的基环是 $A = (*,\mathsf{Ani},\mathsf{Pr},\cdots)$, 此时, $(B/A)_{n-1} = B_{n-1} \in \mathsf{CAlg}((n-1)\mathsf{Pr})$.

函子 $f_{n-1,*}$ 可想象为几何对象之间 $(n-1)$-范畴层的推前, 即整体截面操作的相对版本. 当几何对象被其上 $(n-1)$-范畴层的整体截面完全确定时, 称其 $(n-1)$-仿射. 在相对情形中, 也有仿射态射的概念.

在 Stefanich 环的世界中, 任何一个层级的 “$A$-代数” 都可视为 Stefanich 环的 (仿射) 同态 $A\to B$. 更准确地说有如下命题.

命题. 对 $n\geq 1$, 有全忠实函子 $$ \mathsf{CAlg}(A_n) \to \mathsf{StRing}_{A/}, $$ 该函子为 $B\mapsto (B/A)_{n-1}$ 的左伴随. 进一步, 有等价 $$ \begin{aligned} \mathsf{StRing}_{A/} &\simeq \operatorname{colim}^{\mathsf{Pr}}(\mathsf{CAlg}(A_1)\hookrightarrow\mathsf{CAlg}(A_2)\hookrightarrow\cdots)\\ & =\operatorname{lim}^{\mathsf{Cat}}(\mathsf{CAlg}(A_1)\leftarrow\mathsf{CAlg}(A_2)\leftarrow\cdots), \end{aligned} $$ 其中 $B\in\mathsf{StRing}_{A/}$ 对应于 $((B/A)_0,(B/A)_1,\cdots)$.

证明概要. 依定义, $$ \mathsf{StRing}_{A/} \simeq \operatorname{lim}^{\mathsf{Cat}}( \mathsf{CAlg}(1\mathsf{Pr})_{A_1/} \leftarrow \mathsf{CAlg}(2\mathsf{Pr})_{A_2/} \leftarrow \cdots ). $$ 我们仔细观察其中的转移映射 $$ \operatorname{End}_{-}(1)\colon \mathsf{CAlg}(n\mathsf{Pr})_{/ A_n} \leftarrow \mathsf{CAlg}((n+1)\mathsf{Pr})_{/ A_{n+1}}. $$ 设 $B_{n+1}\in \mathsf{CAlg}((n+1)\mathsf{Pr})_{/ A_{n+1}}$. 拆开定义, 我们发现 $B_{n+1}$ 的信息相当于对称幺半可表现 $1$-范畴的如下图表.

而这样一个图表的信息仅相当于其下方的一个态射 $g$.

此时 $\operatorname{End}_{B_{n+1}}(1_B)$ 是单位 $1_B\in B_{n+1}$ 在两个函子的右伴随的复合下的像, $\operatorname{End}_{B_{n+1}}(1_B) = f^R g^R (1_B)$. 复合中间经过的对象是 $g^R (1_B) \in \mathsf{CAlg}(A_{n+1})$, 如下图.

由此我们看出, 转移映射中间可穿过 $\mathsf{CAlg}(A_{n+1})$, 于是前述极限可改写为

$$ \mathsf{StRing}_{A/} \simeq \operatorname{lim}^{\mathsf{Cat}}( \mathsf{CAlg}(A_1) \leftarrow \mathsf{CAlg}(A_2) \leftarrow \cdots ), $$

且 Stefanich 环的同态 $A\to B$ 对应序列 $$ ((B/A)_0, (B/A)_1,\cdots). $$

对于 $R\in\mathsf{CAlg}(A_n)$, 有 $\mathsf{Mod}_{A_n}(R)\in \mathsf{CAlg}(\mathsf{Mod}_{1\mathsf{Pr}}(A_n))$,