Gestalten - 几何对象 [notes-Gestalten-Gest]
Gestalten - 几何对象 [notes-Gestalten-Gest]
Gestalten 的意象
Gestalten 的范畴在实用意义上是个意象, 满足了我们对一个几何对象的范畴的所有期待.
拉回保持余极限
拉回保持余极限是意象的一个重要性质, 也是 Giraud 公理的第一条. 我们看看 Gestalten 为何满足这一性质, 这其实令人惊叹.
Gestalten 的余极限是 Stefanich 环的极限, 那么这个性质就是说 Stefanich 环的极限在基变换下保持.
例
仿射直线
任取基底 $X = \operatorname{Gest}(A)$. 考虑将格式塔 $Y=\operatorname{Gest}_X(B)$ 映射为 $B_0\in A_1$ 的函子. 其表示对象为 $$ \mathbb A^1 := \operatorname{Gest}_X(A_0\{x\}), $$ $A_0\{x\}$ 表示对 $A_0$ 自由添加一个元素得到的 $\mathbb E_\infty$-代数. 例如
$$ *\{x\} = \bigsqcup_{n\geq 0} */\Sigma_n, $$ $$ \mathbb{Z}\{x\} = \bigoplus_{n\geq 0} \mathbb{Z}[*/\Sigma_n]. $$
还可以定义另一个对象 $$ \mathbb G_a := \operatorname{Gest}_X (A_0[x]), $$ $A_0[x]$ 是多项式代数 $\bigsqcup_{n\geq 0} A_0\cdot x^n$. 例如 $$ *[x] = \mathbb{N}. $$
在 $\mathbb{Q}$ 上, $\mathbb{A}^1\simeq\mathbb G_a$.
乘法群
任取基底 $X = \operatorname{Gest}(A)$. 考虑将格式塔 $Y=\operatorname{Gest}_X(B)$ 映射为 $B_0^\times \in A_1$ 的函子. 其表示对象为 $$ \mathrm{GL}_1 := \operatorname{Gest}_X(A_0\{x^{\pm 1}\}), $$ $A_0\{x\}$ 表示对 $A_0$ 自由添加一个可逆元素得到的 $\mathbb E_\infty$-代数.
还可以定义另一个对象 $$ \mathbb G_m := \mathrm{GL}_1\times_{\mathbb A^1}\mathbb G_a = \operatorname{Gest}_X (A_0[x^{\pm 1}]), $$ $A_0[x^{\pm 1}]$ 是代数 $\bigsqcup_{n\in\mathbb{Z}} A_0\cdot x^n$. 例如 $$ *[x^{\pm 1}] = \mathbb{Z}. $$ $\mathbb G_m$ 表示的函子将 $Y=\operatorname{Gest}(B)$ 映射到 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{CAlg}(\mathsf{Ani})}(\mathbb{Z}, B_0)$.
在 $D(\mathbb{Q})$ 上, $\mathrm{GL}_1\simeq\mathbb G_m$.
射影直线
设 $X = D(\mathbb{Q})$. 考虑两个映射 $\mathrm{GL}_1 \to\mathbb A^1$, 分别是 $x\mapsto x$ 与 $x\mapsto x^{-1}$. 在格式塔中可作推出 $$ \mathbb A^1 \sqcup_{\mathrm{GL}_1} \mathbb A^1. $$ (格式塔的余极限是 Stafanich 环的极限, 也就是逐项取极限.)
$\mathbb G_m$ 的分类叠
模空间是几何对象的范畴上的层.