设 $\mathcal C$ 为幺半范畴, 定义其对象 $x$ 的右对偶为如下数据:
- 一个对象 $x'$;
- 取值映射 $\operatorname{ev}\colon x'\otimes x\to 1$;
- 余取值映射 $\operatorname{coev}\colon 1\to x\otimes x'$;
满足
$$
x \overset{\operatorname{coev}}{\to} x\otimes x'\otimes x \overset{\operatorname{ev}}{\to} x,
$$
$$
x' \overset{\operatorname{coev}}{\to} x'\otimes x\otimes x' \overset{\operatorname{ev}}{\to} x'
$$
均为恒等.
若将幺半范畴等同于一个对象的 $2$-范畴 (类似于幺半群等同于一个对象的范畴), 则对象的左右对偶可视为态射的左右伴随.
例
- 线性空间范畴的可对偶对象为有限维线性空间.
- 一个环上的模范畴的可对偶对象是有限生成投射模.
关系范畴
设范畴 $\mathcal C$ 具有终对象 $*$ 以及拉回, 则关系范畴 $\mathsf{Corr}(\mathcal C)$ 的每个对象 $X$ 均可对偶, 且对偶为自身; 取值映射和余取值映射分别为
$$
X\times X\overset{\Delta}{\leftarrow} X \rightarrow *,
$$
$$
* \leftarrow X \overset{\Delta}{\rightarrow} X\times X.
$$