张鼎新老师 2023 年 2 月 20 日的讲座.
Abel 群的扩张
Abel 群 $N$ 通过 $M$ 的扩张 (an extension of $N$ by $M$) 是如下的短正合列:
$$
\begin{aligned}
0\to N\to E \to M \to 0. && (\star)
\end{aligned}
$$
扩张的等价类 (等价是指两行交换图) 构成集合 $\operatorname{Ext}(M,N)$.
例. $\mathbb{Z}/2\to \text{?} \to \mathbb{Z}/2$, 除了平凡 (分裂) 的扩张, 还有 $\mathbb{Z}/4$.
1934 年, 德国人 R. Baer 发现 $\operatorname{Ext}(M,N)$ 具有 Abel 群结构.
Baer 的描述是这样的. 选择 $M$ 的生成元与关系, 用现代语言即正合列 $0\to R\to F\to M\to 0$, 其中 $R,F$ 是自由 Abel 群.
这样, 对任意扩张 $(\star)$, 都可以得到正合列 $0\to R\to F\to M\to 0$ 到 $(\star)$ 的一个同态, 特别地我们有 “关系函数” $a\colon R\to N$. 反之, 任给 $a\colon R\to N$, 定义 $E(a)$ 是 $N\leftarrow R \to F$ 的推出, 则 $E(a)$ 是一个扩张.
不同的关系函数 $a_1,a_2$ 对应等价的扩张, 当且仅当存在 $b\colon F\to N$ 使得 $b\circ\iota = a_1-a_2$. 于是,
$$
\operatorname{Ext}(M,N)\simeq \frac{\operatorname{Hom}(R,N)}{\operatorname{Hom}(F,N)}.
$$
问题: 选择另一组生成元 $F$ 和关系 $R$, 是否给出同样的群?
1941 年, Mac Lane (用后来发现是 “第二个分量的内射消解” 的方法) 证明了
$$
\operatorname{Ext}\left(\mathbb{Z}\Big[\frac{1}{p}\Big],\mathbb{Z}\right)\simeq \mathbb{Z}_p / \mathbb{Z}.
$$
其中 $\mathbb{Z}_p$ 是 $p$ 进数. Eilenberg 发现 $\mathbb{Z}[1/p]$ 是某个空间 $\Sigma_p$ 的上同调, 其中 $\Sigma_p$ 是 $p$-adic solenoid
$$
\Sigma_p = \lim [S^1 \overset{p}{\leftarrow} S^1 \overset{p}{\leftarrow} \cdots].
$$
后来 (1943 年) 两人产生了万有系数定理. (这是一个纯粹的代数定理.)
群同调
Eilenberg–Mac Lane, Hopf, Freudenthal 同时定义了群同调.
Eilenberg–Mac Lane 定义了空间 $K(\pi,1)$, 研究其同调.
Hopf 定义了环 $\mathbb{Z}[\pi]$, 研究其上模的扩张.
Lie 代数上同调, 结合代数同调
Cartan–Eilenberg 同调代数
1950 年 Cartan 的讨论班上, Eilenberg 总结了前人的工作, 后来 Cartan–Eilenberg 产生了一本书, 第一次系统性研究同调代数, 第一次提出了五引理, 蛇引理, 短正合列推出长正合列. 过去的很多概念被统一为一个概念, 导出函子.
$\operatorname{Hom}(-,N)$ 是左正合 (反变) 函子, $\operatorname{Hom}(M,-)$ 是左正合函子, $N\otimes -$ 是右正合函子. (加上某些条件的话, 这就是全部的例子了.)
使用投射/内射模的概念, 可定义投射/内射消解, 从而定义导出函子: 设 $T$ 为左正合 (反变) 函子, $P_\bullet$ 是 $M$ 的投射消解, 则
$$
R^i T (M)= H^i (TP_\bullet).
$$
由此,
$$
\operatorname{Ext}=R^1\operatorname{Hom}.
$$
定理 (Baer). Abel 群 $M$ 是内射 $\mathbb{Z}$-模当且仅当它可除 (divisible).
任何 Abel 群可嵌入一个可除 Abel 群.
定理 (Baer). 设 $\Lambda$ 为环, $M$ 为 $\Lambda$-模, 则存在 $\Lambda$-模 $I$ 使得 $M$ 可嵌入 $I$.
这个定理给出了内射消解的存在性.
设 $T$ 为左正合函子, $I_\bullet$ 为 $M$ 的内射消解, 则
$$
R^i T(M) = H^i (TI_\bullet).
$$
定理. 对第一个分量作投射消解, 或对第二个分量作内射消解, 得到的 $\operatorname{Ext}$ 是一样的.
Tohoku
1958 年 Grothendieck 的文章提出了 Abel 范畴, 定义了投射/内射对象.
Grothendieck Abel 范畴有小余极限, 有生成元 (即一个对象 $U$, 使得 $\operatorname{Hom}(U,-)$ 忠实), 且滤余极限 (filtered colimit) 正合.
例. $\Lambda$-模范畴是 Grothendieck Abel 范畴. 环化空间 $X$ 上 $O_X$-模范畴也是 (其生成元为 $\bigoplus_{j\colon U\subset X\text{ open}} j_{!}\mathcal O_U$).
对于层范畴, 对偶的条件 “余滤极限 (cofiltered limit) 正合” 不成立.
定理 (Grothendieck). 设 $\mathsf C$ 为 Grothendieck Abel 范畴, 则 $\mathsf C$ 的每个对象都是内射对象的子对象.
验证内射性只需验证对生成元的扩张性质 (extension property). (在模论中, 只需要验证对理想的扩张性质.)