观念
D-模是微分算子环 (层) 上的模. D-模起源于微分方程, 线性偏微分方程是 D-模的表现.
微分算子层 $D_X$ 上的模可以描述微分方程局部的解; 它可以描述一个解沿闭合路径一周的解析延拓与原来不同的现象, 称为单值 (monodromy).
我们研究的主要对象是局部有限表现的 $D_X$-模, 也即凝聚 $D_X$-模. 函子
$$
\operatorname{Hom}_{D_X}(-,\mathcal O_X)\colon \mathsf {Mod}_{\text{coh}}(D_X) \to \mathsf {Mod}(\mathbb{C}_X),
$$
描述了微分方程组的解; 其导出函子 $\operatorname{Ext}^\bullet_{D_X}(-,\mathcal O_X)$ 描述了微分方程的 “高阶解”.
D-模可以推广为晶体的概念, 适用于更多的场景, 例如有奇点的代数簇, 以及非线性对象如范畴上的平坦联络.
特征簇
设 $p=q=1$, $R$ 的特征簇是…
定义
设 $X$ 是 $\mathbb C$ 上的光滑代数簇. $X$ 上的 D-模是正则微分算子层 $D_X$ 上的模. 左 $D_X$-模即带有 $D_X$ 作用的 $\mathcal{O}_X$-模, 等同于线性映射
$$
\nabla\colon D_X \to \operatorname{End}_{\mathbb C}(M),
$$
满足
- $\nabla_{fv}(m)=f\nabla_v(m)$;
- $\nabla_v(fm)=v(f) m + f\nabla_v m$;
- $\nabla_{[v,w]}m=[\nabla_v,\nabla_w]m$.
$X$ 上的 D-模也可视为带有可积联络的拟凝聚 $\mathcal{O}_X$-模.
函子性
与凝聚层类似, 不同代数簇上的 D-模由推出和拉回联系起来.
和乐
设 $M$ 为凝聚 $D_X$-模. 若其特征簇满足 $\dim \operatorname{Ch}(M)=\dim X$, 即特征簇的维数取到最小可能值, 则称 $M$ 为和乐 (holonomic) 的.
和乐 $D_X$-模是线性常微分方程在高维复流形的自然推广.
例
函数层作为 D-模
函数层 $\mathcal O_X$ 是 D-模, 且可表现为
$$
\mathcal O_X \simeq \mathcal D_X / \mathcal D_X T_X.
$$
对于一般的 D-模 $M$, D-模同态 $\mathcal O_X \to M$ 等同于 $M$ 的平坦截面, 即被 $T_X$ 零化的截面.
向量丛
设 $E$ 是 $X$ 上带有可积联络 $\nabla$ 的向量丛, 也即局部形如 $\bigoplus_i \mathcal O_U e_i$ 的层.
回忆联络 $\nabla$ 可视为丛映射 $TX\to \operatorname{End}(E)$, 满足
- $\nabla_{av}=a\nabla_v$;
- $\nabla_v(as)=v(a)s+a\nabla_v s$;
- $\nabla_{[v,w]}=[\nabla_v,\nabla_w]$ (称为可积性或平坦性; 见可积联络).
此时左 $D_X$-模结构即由 $v\cdot s = \nabla_v s$ 给出.
“δ 函数” D-模
对于 $X$ 的闭点 $x$, 有 D-模
$$
\delta_x:= \mathcal D_X / \mathcal D_X\mathfrak m_x\otimes_k\operatorname{det}T_xX.
$$
D-模同态 $\delta_x \to M$ 等同于 $M$ 上被 $\mathfrak m_x$ 零化的截面. 与直线 $\operatorname{det}T_xX$ 作张量积的目的是使得存在典范同构
$$
f_*\delta_x \simeq \delta_{f(x)}.
$$
$\delta_x$ 是由 $\delta$ 函数和它的各阶导数张成的向量空间.
对偶层
对偶层 $\omega = \det \Omega^1$
由于 Lie 导数 $L_v = [\iota_v, d]$, 对于 $\alpha\in\omega$ 有 $L_v\alpha = d \iota_v \alpha$.
对偶层可以把右 D-模变成左 D-模:
$$
D^{\text{op}} = \omega\otimes D \otimes \omega^{-1}
$$
摩天大楼 D-模
$p\in X$, 定义
$$
M_p = D_X / D_X ()
$$
性质
与 de Rham 空间的关系
$X$ 上的 D-模等同于 $X$ 的 de Rham 空间上的拟凝聚层.
相关概念
D-概形