代入幺半结构 [代入幺半结构]

观念

代入幺半结构 (substitution monoidal structure) 是某些自函子范畴 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 的复合幺半结构的模拟.

一类常见的自函子是形如 “多项式” 的函子 $$ X\mapsto\int_{n} F_n \otimes X^{\otimes n}, $$ 其中 $n$ 的取值范围为 $\mathsf{Fin}$ 或 $\mathsf{Fin}^{\simeq}$, $\int_n$ 是余端记号.

当背景范畴为 $\mathsf{Ani}$ 时, 这种 “多项式” 函子可视为 “系数” 函子 $n\mapsto F_n$ 的左 Kan 扩张 (见后面的例). 因此一个自然的推广是: 对于子范畴 $$ j\colon \mathcal A \to \mathcal C, $$ (想象为元数) 对函子 $F\colon \mathcal A \to \mathcal C$ 作左 Kan 扩张得到 $\mathcal C$ 的自函子 $$ j_! F \colon X \mapsto \int_{N\in\mathcal A} F(N) \times \operatorname{Hom}(N,X) $$ 得到. 注意这个表达式也具有类似于多项式的形式. 从而函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal C)$ 呈现幺半结构.

例

“有限元” 函子

考虑全子范畴 $j\colon \mathsf{Fin}\hookrightarrow \mathsf{Ani}$, 函子 $F\colon \mathsf{Fin} \to \mathsf{Ani}$ 沿 $j$ 的左 Kan 扩张为 $$ j_! F \colon X \mapsto \int_{N\in\mathsf{Fin}} F(N)\times X^N. $$ 注意到函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Fin},\mathsf{Ani})$ 等价于保持筛余极限的自函子范畴 $\mathsf{Fun}_{\Sigma}(\mathsf{Ani},\mathsf{Ani})$, 因此它可以继承自函子范畴的复合幺半结构. 定义两个函子 $F,G\colon \mathsf{Fin}\to\mathsf{Ani}$ 的代入积 $F \star G$ 满足 $$ j_!(F \star G) = (j_!F) \circ (j_!G)\colon \mathsf{Ani} \to \mathsf{Ani}, $$ 具体计算得到 $$ \begin{aligned} &(j_!F) \circ (j_!G)(X)\\ &= \int_{N\in\mathsf{Fin}}F(N)\times\Big(\int_{K\in\mathsf{Fin}}G(K)\times X^K\Big)^N\\ &=\int_{N\in\mathsf{Fin}}\int_{K_1,\cdots,K_N\in\mathsf{Fin}}\\ &\quad\ F(N)\times G(K_1)\times\cdots\times G(K_N)\times X^{K_1+\cdots + K_N}\\ &=\int_{M\in\mathsf{Fin}} H(M)\times X^M, \end{aligned} $$ 其中 $$ H(M) = \int_{K_1 + \cdots + K_N = M} F(N)\times G(K_1)\times\cdots\times G(K_N). $$

对称序列

对称序列 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}^{\simeq},\mathsf{Ani})$ (或一般的 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}^{\simeq},\mathcal C)$) 的代入幺半结构给出算畴的一种定义: 算畴是代入幺半结构中的结合代数.