定义
设幺半范畴 $\mathcal C$ 具有几何实现且单位 $1$ 是终对象. 对于结合代数 $A$, 通过唯一的增广 $A\to 1$, 单位 $1$ 具有 $A$ 上的左模与右模结构. 考虑双边杠构造
$$
\operatorname{Bar}(A) = 1\otimes_A 1,
$$
即单纯对象
$$
1\otimes A^{\otimes\bullet}\otimes 1
$$
的几何实现, 那么该对象具有典范的结合余代数结构. 这给出了函子
$$
\operatorname{Bar}\colon \mathsf{Alg}_{\mathbb E_1}(\mathcal C)\to\mathsf{Coalg}_{\mathbb E_1}(\mathcal C).
$$
注意 $\operatorname{Coalg}(\mathcal C) = \mathsf{Alg}(\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}$. 对偶地, 若幺半范畴 $\mathcal C$ 具有余单纯极限且单位 $1$ 是始对象, 则有函子
$$
\operatorname{Cobar}\colon \mathsf{Coalg}_{\mathbb E_1}(\mathcal C)\to \mathsf{Alg}_{\mathbb E_1}(\mathcal C).
$$
进一步, 当 $1$ 为零对象且单纯余极限, 余单纯极限都存在时, 上述两个函子构成一对伴随
$$
\operatorname{Bar}\dashv\operatorname{Cobar},
$$
也即
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Coalg}(\mathcal C)}(\operatorname{Bar}(A),B)
\simeq
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Alg}(\mathcal C)}(A,\operatorname{Cobar}(B)).
$$
例
环路空间
积幺半范畴 $\mathsf{Ani}$ 中的杠–余杠对偶即是逆环路空间与环路空间的对偶.
回忆, 带基点生象 $X$ 的环路空间 $\Omega X$ 具有群结构, 特别地具有结合代数结构.
另一个重要的事实是, 生象 $X$ 本身有结合余代数结构, 余乘法为对角线 $\Delta\colon X\times X$.
命题. $(\mathsf{Ani},\times)$ 中每个对象上有唯一的结合余代数结构. 具体地, 遗忘函子 $\mathsf{Coalg}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Ani}$ 为等价. 而 $(\mathsf{Ani},\times)$ 中的增广余代数则等同于带基点生象 $*\to Y$.
对于 $(\mathsf{Ani},\times)$ 中的结合代数 (幺半群) $X$ 与带基点生象 $Y$, 有等价
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}_{*}}(\mathbf{B}X,Y)
\simeq
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Alg}(\mathsf{Ani})}(X,\Omega Y).
$$
其中
$$
\mathbf{B}X=\operatorname{colim}(\cdots\to^4 X\times X\to^3 X\rightrightarrows *)=\operatorname{Bar}(X),
$$
$$
\Omega Y =\operatorname{lim}(\cdots\leftarrow^4 Y\times Y\leftarrow^3 Y\leftleftarrows *) = \operatorname{Cobar}(Y).
$$
多项式环