Γ-空间 [Γ-空间]
Γ-空间 [Γ-空间]
观念
Γ-空间可给出交换代数的一种定义 (见代数模式). 原理在于 $\Gamma$ 的对象是有限集, 态射是将每个元素对应到互不相交的子集, 这样的结构恰可用于探测一个积幺半范畴中的交换代数 $A$: 用有限集 $\langle n \rangle$ 探测的结果是 $A^n$, 而对于态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$, 相应的映射 $A^m \to A^n$ 是将 $m$ 个元素中的一部分相加得到的 $n$ 个元素.
定义
$\Gamma$-空间是指 Segal 范畴 $\Gamma$ 上的生象值预层.
性质
与谱的关系
设 $A$ 为 $\Gamma$-空间, 定义函子 $\underline{A}\colon \mathsf{Ani}_* \to \mathsf{Ani}_*$, $$ \underline{A}(X) = \int_{\langle n \rangle\in\Gamma} A(\langle n \rangle) \times X^n. $$ 这里 $X^{(-)}$ 是一个保持乘积的函子 $\Gamma\to\mathsf{Ani}$ (因为 $\Gamma$ 是带基点对象的 Lawvere 理论).
函子 $\underline{A}$ 也可视为如下的左 Kan 扩张. $$ \begin{array}{ccc} \Gamma^{\mathrm{op}} & \overset{A}{\to} & \mathsf{Ani}_* \\ |\!| & & \uparrow \\ \mathsf{Fin}_* & \hookrightarrow & \mathsf{Ani}_* \end{array} $$
回忆谱等同于满足切除性的函子 $\mathsf{Ani}_* \to \mathsf{Ani}_*$. todo
对于谱 $E\in\mathsf{Sp}$, 相应的 $\Gamma$-空间 $\Psi(E)$ 为 $$ \Psi (E) (\langle n \rangle) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Sp}}(\mathbb S^{\times n},E). $$
例
Eilenberg–Maclane 空间
对于 Abel 群 $A$, 定义 $\Gamma$-空间 $HA$: $$ HA(\langle n \rangle) = A^n. $$