观念
$n$ 重范畴 ($n$-fold category) 是有 $n$ 类互相独立的态射的范畴. 可以归纳地定义 $n$ 重范畴为 $(n-1)$ 重范畴之中的范畴对象.
定义
归纳定义
归纳地定义 $n$ 重范畴:
- $0$ 重范畴就是生象.
- 对于 $n\geq 1$, $n$ 重范畴是 $(n-1)$ 重范畴的范畴中的范畴对象 (即完备 Segal 对象).
通过代数模式定义
$n$ 重范畴可用代数模式 $\Delta^n$ 的 Segal 对象附加完备性条件来定义. 具体地, $\Delta^n$ 的一个 Segal 对象是一个函子
$$
X\colon (\Delta^n)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani},
$$
即一个 $n$ 重单纯生象, 满足 Segal 条件
$$
X(\cdots,[k],\cdots)\simeq X(\cdots,[1],\cdots)^{\times_{X(\cdots,[0],\cdots)}k}.
$$
而 $n$ 重范畴则可定义为满足每个分量的完备性的 Segal 对象.
性质
与 $n$-范畴的联系
$n$-范畴可视为某些方向退化的 $n$ 重范畴.
例
外张量积
给定范畴 $\mathcal C_1,\cdots,\mathcal C_n$, 可构造 $n$ 重范畴 $\mathcal C_1 \boxtimes\cdots\boxtimes\mathcal C_n$,
$$
([k_1],\cdots,[k_n]) \mapsto \mathcal C_1 ([k_1])\times\cdots\times\mathcal C_n ([k_n]).
$$
景的二重范畴
景构成一个二重范畴 (double category). 两类态射分别称为景的态射和余态射.
正交分解系与二重范畴
Branko Juran 证明每个正交分解系都可视为一个二重范畴, 两类态射分别就是分解系中的两类态射.
来自正交分解系的二重范畴称为分解二重范畴.
不妨采取如下约定 (参考 Blom–Loubaton–Ruit, 其与 Juran 约定相反): 正交分解系中的左类在二重范畴中为纵向态射, 右类为横向态射. (相反的约定当然也可以.)
若将二重范畴视为 $\mathsf{Cat}$ 中的完备 Segal 对象 $\mathcal C \colon \Delta^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}$, 其中
- $\mathcal C_0$ 的态射视为纵向态射,
- $\mathcal C_1$ 的对象视为横向态射,
- $\mathcal C_1$ 的态射视为方块 (即 $\mathcal C$ 作为双单纯对象时在 $([1],[1])$ 上的元素),
则 $\mathcal C$ 为分解二重范畴当且仅当 “取横向态射的终点” 函子 $t\colon \mathcal C_1 \to \mathcal C_0$ 为推前纤维化. 这个条件是直观的: 每个图
$$
\begin{array}{ccc}
\bullet & \rightarrow & \bullet \\
& & \downarrow \\
& & \bullet
\end{array}
$$
都能唯一地填充为方块. 这对应着分解系统中 “将错误顺序的复合变为正确顺序的复合” 的操作.