观念
定义
直接定义
代数模式之间的弱 Segal 纤维化是满足如下条件的态射 $p\colon \mathcal P \to \mathcal O$:
- $\mathcal O$ 中的惰性映射存在水平提升 (换言之, 有函子 $\mathcal O_{\mathrm{int}}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, $N\mapsto \mathcal P_N$);
- 对任意 $N\in\mathcal O$, 函子 $\mathcal P_N \to \operatorname{lim}_{E\rightarrowtail N}\mathcal P_{E}$ 为等价;
- 给定 $X \in \mathcal P_N$, $Y\in\mathcal P_M$ 以及 $\mathcal O$ 中的态射 $f\colon N\to M$,
$$
\operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \operatorname{lim}_{g\colon E\rightarrowtail N}\operatorname{Hom}^{fg}(g^*X,Y).
$$
弱 Segal 纤维化之间的态射是保持惰性映射的水平提升的态射.
通过分层树的代数模式
Blom–Loubaton–Ruit 证明代数模式 $\mathcal O$ 上的弱 Segal 纤维化等同于 $\mathcal O$-分层树构成的代数模式 $\Omega [\mathcal O]$ 的完备 Segal 对象 (意思是其底层 Segal 生象为完备 Segal 生象):
$$
\mathsf{WSegFib}_{\mathcal O} \simeq \mathsf{CSeg}(\Omega [\mathcal O]).
$$
性质
与 Segal 纤维化的关系
代数模式 $\mathcal O$ 上的 Segal 纤维化是其 $\mathsf{Cat}$-值 Segal 对象 $\mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 对应的 $\mathcal O$ 上的拉回纤维化.
Segal 纤维化的全体
$\mathsf{SegFib}_{\mathcal O}$
是弱 Segal 纤维化的全体
$\mathsf{WSegFib}_{\mathcal O}$
的自反子范畴:
$$
(\operatorname{Env}_{\mathcal O} \dashv U)\colon \mathsf{WSegFib}_{\mathcal O}\rightleftarrows\mathsf{SegFib}_{\mathcal O}.
$$
对于弱 Segal 纤维化 $p\colon \mathcal P \to \mathcal O$, 其反射称为 $\mathcal P$ 的 $\mathcal O$-幺半包络 (monoidal envelope):
$$
\operatorname{Env}_{\mathcal O}(\mathcal P) := \mathcal P \times_{\mathcal O}\operatorname{Act}(\mathcal O) = \{(x\in\mathcal P,\alpha\colon o\leadsto p(x))\},
$$
其带有到 $\mathcal O$ 的 Segal 纤维化 $\operatorname{Env}_{\mathcal O} (\mathcal P) \to \mathcal O$, $(x\in\mathcal P,\alpha\colon o\leadsto p(x)) \mapsto o$.
注意 $\operatorname{Env}_{\mathcal O} (\mathcal P)$
一个直观: $\Gamma$ 上的弱 Segal 纤维化是多重范畴, 有多个对象到一个对象的态射, 但不一定有张量积; 其 $\Gamma$-幺半包络 (即对称幺半包络) 就是由所有形式记号 $x_1 \otimes \cdots\otimes x_n$ 构成的范畴, 满足态射 $x_1 \otimes \cdots\otimes x_n \to y$ 等同于原来多重范畴中的多重态射 $(x_1,\cdots,x_n) \to y$.
与松函子的关系
设 $\mathcal C \to \Gamma$, $\mathcal D \to \Gamma$ 为 Segal 纤维化, 对应两个对称幺半范畴. 将它们遗忘为弱 Segal 纤维化, 则弱 Segal 纤维化的态射 $\mathcal C \to \mathcal D$ 等同于 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的余松对称幺半函子.
见松态射.