多重范畴 [多重范畴]

观念

多重范畴可由类似于树的对象来探测.

定义

多重范畴这一概念有多种貌似不同但互相等价的定义.

通过 Barwick 范畴 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$

记 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 为如下范畴:

• 其对象为 $$ ([n]\in\Delta, f\colon [n] \to \mathsf{Fin}), $$ 即 $\mathsf{Fin}$ 中的非空有限序列 $X_0 \to X_1\to\cdots\to X_n$;
• 态射 $([n],f) \to ([m],g)$ 为 $$ (\phi\colon [n]\to [m],\eta\colon f\to g\phi), $$ 满足逐分量为单射, 且自然性方块均为拉回.

这个记号沿用了 Barwick 范畴 $\Delta_{\Phi}$ 的记号, 取 $\Phi = \mathsf{Fin}$ (它是算子范畴的范畴 $\mathsf{Op}$ 中的终对象), 参见 Barwick 算子范畴.

范畴 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 的对象 $X_0 \to X_1\to\cdots\to X_n$ 可理解为一族带有层级的树组成的 “森林”, $X_0$ 为叶的集合, $X_n$ 为根的集合, 中间每个 $X_i$ 为第 $i$ 层内边的集合, 映射 $X_i\to X_{i+1}$ 将每个边对应到与其相连的下一层的边.

这个结构不完全等同于树, 因为其中的 “边” 有固定的层级.

定义 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 上的 Segal 预层为满足如下条件的 $\mathsf{Ani}$-值预层 $F\colon \Delta_{\mathsf{Fin}}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$:

• $F(X_0\to\cdots\to X_n)\simeq F(X_0\to X_1)\times_{F(X_1)}\cdots\times_{F(X_{n-1})}F(X_{n-1}\to X_n)$;
• $F(X\to Y) \simeq \prod_{y\in Y} F(X_y\to \{y\})$;
• $F(X)\simeq\prod_{x\in X}F(\{x\})$.

这个条件是 Segal 生象的类比.

定义多重范畴为 $\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 上满足完备性的 Segal 预层 $F$; 完备性即是说 $F$ 在子范畴 $\Delta\hookrightarrow\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 上的限制是一个完备 Segal 生象.

树形生象

多重范畴的另一种定义使用树形生象.