圈积 (范畴论) [圈积]

观念

圈积是 $\mathsf{Cat}_{/\Gamma}$ 上的一个幺半结构, 表现的是 $\mathsf{Cat}$ 上某种多项式的复合, 类似于对称序列的复合积.

类似于对称序列中的结合代数即为算畴, 圈积下的结合代数也可给出 $\mathsf{Cat}$ 上的单子.

定义

直接定义

设范畴 $\mathcal A,\mathcal B$ 带有到 $\Gamma$ 的函子 $F\colon \mathcal A\to\Gamma$, $G\colon \mathcal B\to\Gamma$.

我们定义范畴 $\mathcal A \wr \mathcal B$ 以及函子 $\mathcal A \wr \mathcal B \to \Gamma$. 范畴 $\mathcal A \wr \mathcal B$ 的对象为 $$ (a,\{b_i\}_{i\in F(a)}), $$ 态射 $(a,\{b_i\}) \to (a',\{b'_i\})$ 为 $\mathcal A$ 中的态射 $f\colon a\to a'$ 以及对每个 $j\in F(f)(i)$ 一个态射 $\eta_{ij}\colon a_i\to a'_j$.

上述定义可用稍简洁的符号记作 $$ \mathcal A \wr \mathcal B = \int_{a\in \mathcal A}\mathcal B^{F(a)}. $$

通过自由半加性范畴

首先, 对任意范畴 $\mathcal C$ 定义 $\Gamma \wr \mathcal C$ 为 $\mathcal C$ 生成的自由半加性范畴. 定义 $$ \mathcal A \wr \mathcal B = \mathcal A \times_{\Gamma} (\Gamma \wr \mathcal B). $$

性质

例