Clark Barwick 文章的笔记. 将原文转写为模型无关语言.
回忆 $\infty$-范畴可由单纯形 (即一串连续的箭头) 探测, 给出单纯生象. 类似地, 算畴 (多重范畴) 可由类似于树的对象探测. 本文建立了一个统一的框架, 由算子范畴 $\Phi$ 出发构造探测用的 “$\Phi$-序列”, 分别在 $\Phi = 1$ 和 $\Phi = \mathsf{Fin}$ 的情形恢复出 $\infty$-范畴与算畴的概念.
定义. 一个算子范畴 (operator category) $\Phi$ 是满足如下条件的范畴:
- $\Phi$ 具有终对象 $1$; 记 $|I|=\operatorname{Hom}(1,I)$, 称之为 $I$ 的点的集合;
- 态射集 $\operatorname{Hom}(I,J)$ 均为有限集;
- 对任意态射 $I\to J$ 以及 $j\in |J|$, 有纤维 $\{j\}\times_J I$.
定义算子范畴之间的态射为满足如下条件的函子 $G\colon \Psi\to\Phi$:
- $G$ 保持终对象以及纤维操作;
- 对任意 $I\in\Psi$, $|I|\to |GI|$ 为满射.
记算子范畴的 $2$-范畴为 $\mathsf{Op}$.
例. 终范畴 $1$, 单纯形范畴 $\Delta$, 有限集范畴 $\mathsf{Fin}$ 均为算子范畴. $\mathsf{Fin}$ 是 $\mathsf{Op}$ 的终对象: 对任意算子范畴 $\Phi$, 有态射 $\Phi\to\mathsf{Fin}$, $I\mapsto |I|$.
定义. 对于算子范畴 $\Phi$ 与自然数 $n$, 记 $\Phi_{\leq n}$ 为其中具有不超过 $n$ 个点的对象构成的全子范畴. 这也是一个算子范畴.
定义. 对于算子范畴 $\Psi,\Phi$, 定义其圈积 $\Psi\wr\Phi$ 为如下范畴:
- 其对象为
$$
(I\in\Phi,(M_i\in\Psi)_{i\in |I|}),
$$
- 态射 $(I,(M_i)) \to (J,(N_j))$ 为
$$
(\eta\colon I\to J,(\omega_j\colon M_i\to N_{\eta(i)})_{i\in |I|}).
$$
定理. 圈积是 $\mathsf{Op}$ 上的一个幺半结构.