共首函子 [共首函子]

观念

共首函子 (initial functor) 是不改变极限的指标代换, 是共尾函子的对偶概念.

定义

命题-定义. 对于函子 $f\colon I\to J$, 若下列等价条件成立, 则称之为共首函子:

• 对任意 (有极限的) 图表 $X\colon J\to \mathcal C$, 比较映射 $\operatorname{lim}_{j\in J}X_j \to \operatorname{lim}_{i\in I}X_{f(i)}$ 为等价;
• 同上一个条件, 但只要求 $\mathcal C$ 为 $\mathsf{Ani}$ 的情形;
• 对任意图表 $X\colon J\to \mathcal C$ 以及 $c\in\mathcal C$, 比较映射 $\operatorname{Hom}(\operatorname{const}_J c,X)\to \operatorname{Hom}(\operatorname{const}_I c,Xf)$ 为等价;
• 对任意 $j\in J$, 范畴 $(f\downarrow j):=\{(i,u\colon f(i)\to j)\}$ 弱可缩 (即底层生象是可缩的).
• 对任意 $j\in J$, $$ \int_{i\in I}\operatorname{Hom}_J(f(i),j) = *. $$

核心观察是由于端的 Fubini 定理, $$ \begin{aligned} \operatorname{lim}_{i\in I}X_{f(i)} &=\int_{i\in I}^*X_{f(i)}\\ &\simeq\int_{i\in I}^*\int_{j\in J}^*{\operatorname{Hom}}{\big({\operatorname{Hom}_{J}(f(i),j), X_j}\big)}\\ &\simeq\int_{j\in J}^*{\operatorname{Hom}}\Big(\int_{i\in I}\operatorname{Hom}_{J}(f(i),j), X_j\Big). \end{aligned} $$