观念
空间上的分层 (stratification) 是将其分解为一个偏序集参数化的若干子空间的方法. 更具体地, 拓扑空间 $X$ 上的分层是其到偏序集的映射 $X \to P$, 其中 $P$ 带有 Alexandroff 拓扑; 这意味着对 $X$ 的任何一点 $x$, 在足够小的邻域之内, 点的层次都不小于 $x$ 的层次.
分层空间常用于描述带有 “奇点” 的空间, 如奇性代数簇.
分层空间可用于表现范畴. 见分层空间与范畴.
定义
分层空间是拓扑空间 $X$ 带有到某个偏序集 $P$ 的连续映射, 其中 $P$ 带有 Alexandroff 拓扑, 即开集为向上封闭集, 闭集为向下封闭集. 分层空间的范畴为
$$
\mathsf{Strat} := \mathsf{Top}/\mathsf{Alex}.
$$
有些作者 (如 Heidemann) 的定义还对分层有更多要求:
- $X\to P$ 为满射;
- $X$ 带有所有分层单形到它的映射的终拓扑, 这意味着脉–实现伴随 (见后文) 的余单位 $|{\operatorname{Exit}(X)}|\to X$ 是同构, 即 $X$ 的拓扑能被出路单纯集重构.
分层空间之间的映射为交换方块
$$
\begin{array}{ccc}
X & \rightarrow & Y \\
\downarrow & & \downarrow \\
P_X & \rightarrow & P_Y.
\end{array}
$$
- 若 $X\to Y$ 为同构而 $P_X \to P_Y$ 为满射, 则称 $X$ 为 $Y$ 的细化 (refinement);
- 若该方块为拉回且 $P_X\to P_Y$ 为单射, 则称 $X$ 为 $Y$ 的可构造子空间 (constructible subspace).
定义一个分层空间 $X\to P$ 的深度为偏序集 $P$ 中最长严格递增链的长度.
性质
例
区间
区间 $[0,1]$ (或左闭右开区间 $[0,1)$) 是个分层空间, 点 $0$ 是一层, 剩下的部分是一层. 这个分层对应映射 $[0,1] \to \{\bot,\top\}$, $0\mapsto\bot$, $x\mapsto\top\,(x>0)$.
分层空间的映射 $[0,1]\to X$ 称为分层空间 $X$ 的出路 (exit path). 见出路范畴.
锥
对任意分层空间 $X\to P$, 定义其闭锥为分层空间
$$
\frac{X\times [0,1]}{X\times \{0\}}\to P^{\triangleleft}
$$
(若将 $[0,1]$ 替换为 $[0,1)$, 则称为开锥),
其中 $P^{\triangleleft}$ 表示 $P$ 上的左锥.
注意空集的锥为单点.
单形
对于自然数 $n$, 拓扑 $n$ 维单形 $|\Delta^n|$ 上的锥为 $|\Delta^{n+1}|$, 这归纳地给出了拓扑单形上的分层结构
$$
(|\Delta^n| \to [n]) \in \mathsf{Strat},
$$
进而有单纯形范畴到分层空间范畴的嵌入
$$
\Delta \to \mathsf{Strat},\,[n]\mapsto (|\Delta^n|\to [n]).
$$
该嵌入的脉函子称为出路单纯集函子
$$
\operatorname{Exit}\colon \mathsf{Strat} \to \mathsf{sSet},
$$
其左伴随为几何实现
$$
|{-}| \colon \mathsf{sSet} \to \mathsf{Strat}.
$$
群作用
对于拓扑空间 $X$ 上的有限群作用, 根据各点 $x\in X$ 的稳定子可给出 $X$ 上的分层.
碰撞与构形空间
对于拓扑空间 $X$ 与有限集 $I$, 空间 $X^I$ 可以根据点的碰撞来分层, 最上层为 $I$ 个点的 (有序) 构形空间.
另见 Ran 空间.