Wiki. 代数理论 [代数理论]

观念

代数的最初意义是对运算与等式的研究. 一个代数理论就是若干种运算和这些运算之间的若干条等式. 代数理论的模型就是一个集合 (或一般范畴的对象) 上带有指定的运算, 满足指定的等式.

一种更抽象的视角是, 运算和等式不过是一个具有有限乘积 (有限极限) 的范畴的表现. 故代数理论可 “无坐标” 式地定义为这样的一个范畴, 这个范畴就是它的语法范畴. 而该理论的模型则是语法范畴到 $\mathsf{Set}$ (或一般范畴) 的保持结构的函子.

还有另一个方向的抽象. 代数理论 $\mathcal T$ 给出一个记录了所有运算与等式的 “自由代数” 函子 $F\colon \mathsf{Set}\to\mathsf{Set}$, 而 $\mathcal T$ 的模型可视为映射 $FX\to X$, 表达了所有运算在 $X$ 上这一具体结构中的求值. 沿这一思路可以继续推广得到单子上的代数的概念.

定义

通过语法

…

通过语法范畴

一个代数理论 (的语法范畴) 是一个具有有限积的范畴 $\mathcal T$.

若范畴 $\mathcal T$ 中有一个对象 $x$ 使得每个对象都形如 $x^n$ ($n\in\mathbb{N}_{\geq 0}$), 则称之为单类型 (simgle-sorted) 代数理论.

(单类型) 代数理论有时又称为 Lawvere 理论.