扭箭头范畴 [扭箭头范畴]

定义

范畴 $\mathcal C$ 的扭箭头范畴 (twisted arrow category) $\mathsf{TwArr}(\mathcal C)$ 是其 Hom 函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,-)\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathsf{Ani}$ 的元素范畴.

具体地, $\mathsf{TwArr}(\mathcal C)$ 的对象为箭头 $f\colon X\to Y$, 态射为如下交换图. $$ \begin{array}{ccc} X_1 & \overset{f}{\rightarrow} & Y_1 \\ \uparrow & & \downarrow \\ X_2 & \underset{g}{\rightarrow} & Y_2 \end{array} $$

注意文献中这个概念有时会相差一个反范畴.

性质

自然变换

对于两个函子 $F_1,F_2,\mathcal C\to\mathcal D$, 自然变换的集合可表现为沿扭箭头范畴的极限: $$ \begin{aligned} &\operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)}(F_1,F_2)\\ \simeq\operatorname{lim}_{(X\to Y)\in\mathsf{TwArr}(\mathcal C)}&\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(F_1(X),F_2(Y)). \end{aligned} $$