定义
生象群
对于生象群 $G$ 与范畴 $\mathcal C$ 的对象 $X$, 定义 $G$ 在 $X$ 上的作用为函子
$$
F\colon \mathbf{B}G\to\mathcal C,
$$
将 $\mathbf{B}G$ 中的对象 $*$ 映射到 $X$.
注. 根据人为选取的约定, 我们将函子 $\mathbf{B}G\to\mathcal C$ 称为 $G$ 的左作用 (这仅仅是因为我们习惯将作用符号写在左边). 相应地, 函子 $\mathbf{B}G^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ 称为 $G$ 的右作用. 但实际上 $\mathbf{B}G$ 等价于 $\mathbf{B}G^{\mathrm{op}}$ (因为它是一个群胚), 所以两个概念是等价的.
用游走的观点看, 范畴 $\mathbf{B}G$ 中的对象 $*$ 是游走的 $G$-作用.
定义 $G$-作用 $F\colon \mathbf{B}G\to\mathcal C$ 的不动点为极限
$$
X^G := \operatorname{lim} F ;
$$
定义该作用的余不动点, 又称商, 为
$$
X_G := X/G := \operatorname{colim} F.
$$
当然, 充实范畴中的对象也有类似概念.
意象中的群
在 $\infty$-意象 $\mathcal C$ 中, 由意象的下降性质有
$$
\mathcal C_{/\mathbf{B}G}\simeq\operatorname{lim}_{\mathbf{B}G}\mathcal C\simeq\mathsf{Fun}(\mathbf{B}G,\mathcal C),
$$
群 $G$ 的作用等同于指向 $\mathbf{B}G$ 的映射, 即俯意象 $\mathcal C_{/ \mathbf{B}G}$ 的对象; 而 $\mathbf{B}G$ 又可表现为单纯对象的实现,
$$
\mathcal C_{/\mathbf{B}G} \simeq \operatorname{lim}\Big(
\mathcal C \rightrightarrows \mathcal C_{/G} \to^3 \mathcal C_{/G\times G}\cdots
\Big),
$$
于是 $\mathcal C_{/\mathbf{B}G}$ 的对象等同于单纯对象
$$
X /\!\!/ G := (\cdots X\times G\times G \to^3 X\times G \rightrightarrows X )
$$
带有指向 $*/\!\!/ G$ 的映射
$$
X /\!\!/ G \to */\!\!/ G.
$$
追溯定义, 可知这是 $G$ 在 $X$ 上的作用, 且商为
$$
X/G=\operatorname{colim}_{\mathbf{B}G}X = \operatorname{colim} X /\!\!/ G.
$$
一般范畴中的群
对于一般范畴 $\mathcal C$ 中的群 $G$, 模仿意象中的情形, 也可定义 $G$-作用为单纯对象
$$
X /\!\!/ G = (\cdots X\times G\times G \to^3 X\times G \rightrightarrows X )
$$
以及态射
$$
X /\!\!/ G \to * /\!\!/ G.
$$
性质
对于生象群 $G$ 在生象 $X$ 上的作用, 其不动点可表示为俯意象中的映射空间
$$
X^G = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G}}(\mathbf{B}G,X/G).
$$
群作用的同态
设 $F,H\colon \mathbf{B}G\to\mathcal C$ 是两个 $G$-作用, 记 $X=F(*)$, $Y=H(*)$. 那么 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 上有 $G$-作用:
$$
\mathbf{B}G \overset{\Delta}{\to}\mathbf{B}G^{\mathrm{op}} \times \mathbf{B}G \overset{\operatorname{Hom}(F-,H-)}{\longrightarrow} \mathsf{Ani}.
$$
且两个 $G$-作用 $F,H$ 之间的同态集, 即自然变换的集合
$\operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(\mathbf{B}G,\mathcal C)}(F,H)$
可以写成端 (注意扭箭头范畴 $\mathsf{Tw}(\mathbf{B}G)$ 等价于 $\mathbf{B}G$ 自身)
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(\mathbf{B}G,\mathcal C)}(F,H) = \int_{x\in \mathbf{B}G} \operatorname{Hom}(F(x),H(x))
$$
从而等价于不动点集
$\operatorname{Hom}(X,Y)^{G}$.
例
左乘/右乘作用
对于生象群 $G$, 映射 $* \to \mathbf{B}G$ 对应的 $G$-作用即是 $G$ 在自身上的左乘作用.
共轭作用
每个群 $G$ 都有在自身上的共轭作用.
$\mathbb{Z}$ 的作用
$\mathbb{Z}$ 在对象 $X$ 上的作用相当于 $X$ 的一个自同构 $\phi\colon X\to X$. 此时,
- 不动点可表现为等化子 $\operatorname{eq}(\mathrm{id},\phi)$ (因为 $\{\bullet\rightrightarrows\bullet\}\to\mathbf{B}\mathbb{Z}$ 是共首函子),
- 余不动点, 即商 $X / \mathbb{Z}$, 可表现为余等化子 $\operatorname{coeq}(\mathrm{id},\phi)$.
相关概念
相对位置
稳定子