(∞,n)-范畴 [∞-n-范畴]

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观念

$(\infty,n)$-范畴是具有至多 $n$ 阶不可逆态射的高阶范畴.

一般而言, 定义 $(\infty,n)$-范畴有两条路线:

一是表现, 即用基本对象和运算 (见代数模式) 来探测;
二是充实, 即 $n$-范畴充实于 $(n-1)$-范畴.

定义

作为 $n$ 重 Segal 生象

作为 $\Theta_n$-空间

$(\infty,n)$-范畴的一种定义是 $\Theta_n$-空间.

作为充实范畴

$(\infty,n)$-范畴可归纳地定义为充实于 $(\infty,n-1)$-范畴的范畴: $$ \mathsf{Cat}_{(\infty ,n+1)} := \mathsf{Cat}_{(\infty,n)}\text{-}\mathsf{Cat}. $$

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HADR - 代数模式 [HADR-alg-patt]

讲稿
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详见代数模式, 这里仅列举要点:

一个代数模式是一个范畴 $\mathcal O$ 配备分解系统 $(\mathcal O_{\mathrm{act}},\mathcal O_{\mathrm{int}})$, 分别称为活性映射与惰性映射, 以及全子范畴 $\mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$, 称为基本对象的范畴.

我们的观念是

底层结构是基本对象的范畴 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$ 上的预层;
代数模式所表达的结构是底层结构上的代数结构, 即单子性函子 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}}$;
代数模式只是代数结构的表现, 正如景是意象的表现.

代数模式 $\mathcal O$ 在积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的 Segal 对象是一个函子 $F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 满足 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}$ 是 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张.

重要的例子包括

Lurie 意义下的算畴是一种特殊的代数模式 $\mathcal O \to \Gamma$, 所谓弱 Segal 纤维化.

关于代数模式方向约定的解释. 在本页面与代数模式页面, 我们使用的方向约定 (即代数模式的底层范畴 $\mathcal O$ 及其子范畴的方向) 与 Chu–Haugseng 以及 Lurie 都相反. 我认为两种约定都有道理, 并且两者可以视为一对代数–几何对偶,

我们约定中的代数模式 $\mathcal O$ 可视为 “代数侧”, 其对象大致可理解为基本对象生成的自由代数对象, 态射可理解为变量代换, 例如 $\mathbb{Z}[t] \to \mathbb{Z}[x,y]$, $t\mapsto x+y$.
而 Chu–Haugseng 与 Lurie 约定中的范畴 $\mathcal O$ ($\mathcal O^{\otimes}$) 可视为对偶的 “几何侧”, 态射可视为运算, 例如 $\mathbb A^2 \to \mathbb A^1$, $(x,y)\mapsto x+y$.

例子: 游走的自同态

记录一个小例子, 可以作为习题检验自己对代数模式的理解.

考虑仅有一个点 $*$ 和一条边 $*\to *$ 的有向图, 问这个有向图自由生成的范畴是什么. 注意到它是 $\Delta_{\mathrm{el}}$ 上的预层范畴中的终对象, 通过右 Kan 扩张得到的代数模式 $\Delta_{\mathrm{int}}$ 的 Segal 对象 $$ X\colon \Delta_{\mathrm{int}}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}. $$ 仍是终对象 (右 Kan 扩张保持终对象): $$ X ([n]) = 1. $$ 我们通过左 Kan 扩张求其自由生成的 $\Delta$ 的 Segal 对象: $$ \operatorname{LKE}(X)([1]) = \operatorname{colim}_{[1] \to [n]} X([n]) = \big| \{[1]\to [n]\} \big|, $$ 其中 $|{-}|$ 表示取范畴的底层生象. 这个指标范畴认真写出来是:

对象为 $[1]\to [n]$,
态射为交换图 $\begin{array}{ccc} [1] & & \\ \downarrow & \searrow & \\ [n] & \rightarrowtail & [m] \end{array}$, 其中 $[n]\rightarrowtail [m]$ 是惰性的.

断言. 指标范畴 $\{[1]\to [n]\}$ 是 $\mathbb{N}$ 个范畴的无交并, 其中每个部分都是弱可缩范畴.

为了证明上述断言, 考虑每个态射 $[1]\to [n]$ 的活性部分. 对指标范畴中的任意态射 $\begin{array}{ccc} [1] & & \\ \downarrow & \searrow & \\ [n] & \rightarrowtail & [m] \end{array}$, 由于 $[n]\rightarrowtail [m]$ 是惰性的, 其两边 $[1]\to [n]$ 和 $[1]\to [m]$ 的活性部分相同, 这就将指标范畴归为了 $\mathbb{N}$ 个连通分支. 另一方面, 设 $[1] \to [n]$ 的活性部分为 $[1] \to [k]$, 则由正交分解, 存在唯一的惰性映射 $[k]\rightarrowtail [n]$ 连接两者; 故这个连通分支是弱可缩的.

…

不难发现左 Kan 扩张给出的自由的 Segal 生象 $\operatorname{LKE}(X)$ 为游走的自同态 $\mathbf{B}\mathbb{N}$.

(n,r)-范畴 [n-r-范畴]

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定义

对于整数 $n\geq -2$, $r\geq 0$, $(n,r)$-范畴是满足如下条件的高阶范畴:

其任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点;
其任何 $r$ 阶态射范畴为生象.

注. 不妨要求 $r\leq n+1$, 因为若任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点, 则任何 $(n+1)$ 阶态射范畴为生象.

由定义, $(n,r)$-范畴中两个对象之间的态射范畴为 $(n-1,r-1)$-范畴. 这个事实也可以作为 $(n,r)$-范畴的一种定义: $(n,r)$-范畴就是充实于 $\mathsf{Cat}_{(n-1,r-1)}$ 的范畴.

例

$(n,r)$	名称
$(-1,0)$	命题
$(0,0)$	集合
$(0,1)$	偏序集
$(1,1)$	通常说的 “范畴”
$(1,2)$	充实于偏序集的范畴
$(\infty,0)$	生象
$(n,0)$	$n$-截断生象
$(\infty,1)$	通常说的 “无穷范畴”

$(n,0)$-范畴

可归纳说明 $(n,0)$-范畴就是 $n$-截断生象:

由定义, $(-2,0)$-范畴是单点, 即 $(-2)$-截断生象.
对于生象 $X$, 其为 $n$-截断生象当且仅当对任意 $x,y\in X$, 道路生象 $x=y$ 为 $(n-1)$-截断生象.

例如

$(-1,0)$-范畴是命题,
$(0,0)$-范畴是集合.

$(0,1)$-范畴

$(0,1)$-范畴是充实于命题的范畴, 即对任意两个对象 $x,y$, 态射范畴 $\operatorname{Hom}(x,y)$ 都是命题. 在经典逻辑中, 这意味着 $x$ 到 $y$ “要么有 (唯一的) 态射, 要么没有态射”. 若将 “$x$ 到 $y$ 有态射” 理解为 $x\leq y$, 这正是偏序集的概念.

$(1,2)$-范畴

$(1,2)$-范畴是充实于 $(0,1)$-范畴的范畴, 即两个对象之间的态射范畴为偏序集.

一个重要的例子是单纯形范畴.

$(\infty,0)$-范畴, 生象

生象, 又称 $\infty$-群胚, 即 $(\infty,0)$-范畴, 是一类重要的高阶范畴.

对于每个高阶范畴 $\mathcal C$, 都可以去掉其中所有不可逆的态射, 仅保留对象与对象之间的同构, 得到一个生象 $\mathcal C^{\simeq}$, 称为 $\mathcal C$ 的对象的生象. 一般地, $(n,r)$-范畴也可遗忘为 $(n,r')$-范畴 ($r' < r$).

$(\infty,n)$-范畴

见 $(\infty,n)$-范畴.

n 重范畴 [n-重范畴]

观念

$n$ 重范畴 ($n$-fold category) 是有 $n$ 类互相独立的态射的范畴. 可以归纳地定义 $n$ 重范畴为 $(n-1)$ 重范畴之中的范畴对象.

定义

归纳定义

归纳地定义 $n$ 重范畴:

$0$ 重范畴就是生象.
对于 $n\geq 1$, $n$ 重范畴是 $(n-1)$ 重范畴的范畴中的范畴对象 (即完备 Segal 对象).

通过代数模式定义

$n$ 重范畴可用代数模式 $\Delta^n$ 的 Segal 对象附加完备性条件来定义. 具体地, $\Delta^n$ 的一个 Segal 对象是一个函子 $$ X\colon (\Delta^n)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}, $$ 即一个 $n$ 重单纯生象, 满足 Segal 条件 $$ X(\cdots,[k],\cdots)\simeq X(\cdots,[1],\cdots)^{\times_{X(\cdots,[0],\cdots)}k}. $$ 而 $n$ 重范畴则可定义为满足每个分量的完备性的 Segal 对象.

性质

与 $n$-范畴的联系

$n$-范畴可视为某些方向退化的 $n$ 重范畴.

例

外张量积

给定范畴 $\mathcal C_1,\cdots,\mathcal C_n$, 可构造 $n$ 重范畴 $\mathcal C_1 \boxtimes\cdots\boxtimes\mathcal C_n$, $$ ([k_1],\cdots,[k_n]) \mapsto \mathcal C_1 ([k_1])\times\cdots\times\mathcal C_n ([k_n]). $$

景的二重范畴

景构成一个二重范畴 (double category). 两类态射分别称为景的态射和余态射.

正交分解系与二重范畴

Branko Juran 证明每个正交分解系都可视为一个二重范畴, 两类态射分别就是分解系中的两类态射.

来自正交分解系的二重范畴称为分解二重范畴.

不妨采取如下约定 (参考 Blom–Loubaton–Ruit, 其与 Juran 约定相反): 正交分解系中的左类在二重范畴中为纵向态射, 右类为横向态射. (相反的约定当然也可以.)

若将二重范畴视为 $\mathsf{Cat}$ 中的完备 Segal 对象 $\mathcal C \colon \Delta^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}$, 其中

$\mathcal C_0$ 的态射视为纵向态射,
$\mathcal C_1$ 的对象视为横向态射,
$\mathcal C_1$ 的态射视为方块 (即 $\mathcal C$ 作为双单纯对象时在 $([1],[1])$ 上的元素),

则 $\mathcal C$ 为分解二重范畴当且仅当 “取横向态射的终点” 函子 $t\colon \mathcal C_1 \to \mathcal C_0$ 为推前纤维化. 这个条件是直观的: 每个图 $$ \begin{array}{ccc} \bullet & \rightarrow & \bullet \\ & & \downarrow \\ & & \bullet \end{array} $$ 都能唯一地填充为方块. 这对应着分解系统中 “将错误顺序的复合变为正确顺序的复合” 的操作.

Θn-空间 [Θ-n-空间]

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观念

$\Theta_n$-空间提供了 $(\infty,n)$-范畴的一种定义, 是 Segal 空间的推广.

定义

$\Theta_n$-空间是指 Joyal 范畴 $\Theta_n$ 上满足特定条件的生象值预层.

例

$K(\pi,n)$

设 $\pi$ 为 Abel 群. 考虑 $\Gamma$-空间

桁架 [桁架]

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观念

桁架 (truss) 是用于描述 $(\infty,n)$-范畴的流形图的一种纯组合数据, 可通过迭代一个多项式函子定义.

定义

定义 ($1$-桁架). 所谓 $1$-桁架是如下资料:

一个全序集 $(T,\preceq) = \{x_1 \prec \cdots \prec x_n\}$;
集合 $T$ 上的另一个偏序结构 $(T,\leq)$, 满足对任意相邻的 $i,j$ 有 $x_i < x_j$ 或 $x_i > x_j$ (换言之, 偏序 $\leq$ 形如 zig-zag),
以及一个保守映射 $\operatorname{dim}\colon (T,\leq) \to \{0\leq 1\}$ (这就是说相邻).

想象 $T$ 为一个区间的分层结构, 每层均为单点 ($\operatorname{dim} = 0$) 或开区间 ($\operatorname{dim} = 1$). 整个区间可以是开的闭的或者半开半闭, 取决于两端的分层的维数.

若 $1$-桁架的两端均为 $1$ 维, 称之为开 $1$-桁架;
若 $1$-桁架的两端均为 $0$ 维, 称之为闭 $1$-桁架.

定义 $1$-桁架之间的态射 $T\to S$ 为保持偏序 $\preceq,\leq$ 的映射 $f\colon T\to S$. 注意我们可以不要求 $f$ 保持维数 $\operatorname{dim}$:

若 $\operatorname{dim}\circ f \geq \operatorname{dim}$, 称 $f$ 为正则 (regular) 映射;
若 $\operatorname{dim}\circ f \leq \operatorname{dim}$, 称 $f$ 为奇异 (singular) 映射;
若 $\operatorname{dim}\circ f = \operatorname{dim}$, 称 $f$ 为保维数映射.

命题.

闭 $1$-桁架与保维数映射构成的范畴为 $\Delta^{\mathrm{op}}$.
开 $1$-桁架与正则映射构成的范畴为 $\Delta$.

缠结假设 [缠结假设]

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观念

缠结假设 (tangle hypothesis) 是一系列关于各维数的缠结构成的高阶范畴的万有性质的命题.

缠结假设可由带奇点配边假设推出.

陈述

注. 由于文献 (Lurie, Ayala–Francis 等) 记号不一, 此处使用的是一个和他们都不相同, 但看上去比较合理的记号.

我们用 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ 表示如下的 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴:

其对象为 $\mathbb{R}^n$ (或 $n$ 维圆盘 $D^n$) 中的带标架 $0$ 维子流形, 其上 $\mathbb E_n$-结构是直观的;
其 $i\leq k$ 阶态射为 $\mathbb{R}^{i+n}$ 中的 $i$ 维带标架缠结;
其高于 $k$ 阶态射为同痕.

如下是 $\mathsf{Tang}_1^{\mathbb E_2}$ 中的一个 $1$-态射的示意.

命题. 范畴 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ 是一个完全可对偶对象所自由生成的 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴.

等价的陈述是: 范畴 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ 是一个对象自由生成的刚性 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴.

由于逆环假设, 上述命题还有一个用 $(\infty,n+k)$-范畴陈述的版本.

我们用 $\operatorname{Tang}_{k}^{(n)}$ 表示如下的 $(\infty,n+k)$-范畴:

其 $i$ 阶态射为 $\mathbb{R}^{i}$ 中的余 $n$ 维带标架缠结;
其高于 $n+k$ 阶态射为同痕.

换言之, $\operatorname{Tang}_{k}^{(n)} = \mathrm{B}^n \operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$.

命题. 范畴 $\operatorname{Tang}_{k}^{(n)}$ 是一个基点的完全可伴随 $n$ 阶自同态所自由生成的 $(\infty,n+k)$-范畴.

与配边假设的关系

配边范畴 $\mathsf{Bord}_k$ 是 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ “在 $n \geq \infty$ 的极限”; 人们也称其为稳定情形. 此时 (至少直观上) 缠结假设趋向于配边假设: $\mathsf{Bord}_k$ 是一个完全可对偶对象所自由生成的对称幺半 $(\infty,k)$-范畴.

范畴对象 (完备 Segal 对象) [范畴对象]

观念

在 $\infty$-范畴中, 一个范畴内部的范畴可由完备 Segal 对象描述.

迭代这一构造可得 $(\infty,n)$-范畴的概念.

定义

Segal 对象

首先我们重复 Segal 对象的定义. 直观上, 它是一些可复合的态射构成的结构, 已经接近于范畴的概念, 但还有差距.

设 $\mathcal C$ 为 $\infty$-范畴, 一般要求为可表现范畴. 定义 $\mathcal C$ 中的一个 Segal 对象是一个单纯对象 $X \colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 满足对任意 $m,n\in\mathbb{N}$, 下图为拉回 (直观: “态射可复合”). $$ \begin{array} {ccc} X_{m+n} & \to & X_m \\ \downarrow && \downarrow \\ X_n & \to & X_0 \end{array} $$ 该图来自 $\Delta$ 中的如下交换图. $$ \begin{array} {ccc} \{0 < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{0 < \cdots < m\} \\ \uparrow && \uparrow \\ \{m < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{m\} \end{array} $$

记 $\mathsf{Segal}(\mathcal C) \hookrightarrow \mathsf{Fun}(\Delta^{\mathrm{op}},\mathcal C)$ 为 Segal 对象在单纯对象中构成的全子范畴.

完备 Segal 对象

Segal 对象的完备性类似于泛等性, 说的是可逆态射的全体等同于对象的全体.

考虑单纯对象 $$ J = (\{0,1\} \leftleftarrows \{00,01,10,11\} \cdots) $$ 即 “游走的等价”. 注意作为范畴它等价于单点, 但作为单纯对象它不等价于单点.

完备 Segal 对象就是 Segal 对象中关于 $J \to *$ 的局部对象, 即满足 $$ X_0 \to \operatorname{Hom}(J,X) $$ 为等价的 Segal 对象 $X$.

由于 $J$ 还可写成推出 $$ \begin{array}{ccc} \Delta^1 + \Delta^1 & \rightarrow & \Delta^3 \\ \downarrow & & \downarrow \\ \Delta^0 + \Delta^0 & \rightarrow & J, \end{array} $$ 上述完备性条件也可表述为 $$ X_0 \overset{\simeq}{\to} X_3\times_{X_1\times X_1}(X_0\times X_0). $$

定理 (Rezk). 记 $\mathrm{ff.es.}$ 为全忠实本质满态射的类; 那么 Segal 生象的完备化 (即完备 Segal 生象范畴到 Segal 生象范畴的含入的左伴随) 正是关于 $\mathrm{ff.es.}$ 的局部化.

例

对称幺半范畴

参考 Antieau. 可证明对称幺半范畴等同于 $\mathbb E_\infty$-生象范畴 $\mathsf{CAlg}(\mathsf{Ani})$ 中的范畴对象. 事实上, 两者均为 $$ \mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}_*\times\Delta^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani}) $$ 的全子范畴. 又由于函子范畴中的极限是逐点的, 可验证两个子范畴相同.