定义
对于整数 $n\geq -2$, $r\geq 0$, $(n,r)$-范畴是满足如下条件的高阶范畴:
- 其任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点;
- 其任何 $r$ 阶态射范畴为生象.
注. 不妨要求 $r\leq n+1$, 因为若任何 $(n+2)$ 阶态射范畴为单点, 则任何 $(n+1)$ 阶态射范畴为生象.
由定义, $(n,r)$-范畴中两个对象之间的态射范畴为 $(n-1,r-1)$-范畴. 这个事实也可以作为 $(n,r)$-范畴的一种定义: $(n,r)$-范畴就是充实于 $\mathsf{Cat}_{(n-1,r-1)}$ 的范畴.
例
| $(n,r)$ | 名称 |
|---|
| $(-1,0)$ | 命题 |
| $(0,0)$ | 集合 |
| $(0,1)$ | 偏序集 |
| $(1,1)$ | 通常说的 “范畴” |
| $(1,2)$ | 充实于偏序集的范畴 |
| $(\infty,0)$ | 生象 |
| $(n,0)$ | $n$-截断生象 |
| $(\infty,1)$ | 通常说的 “无穷范畴” |
$(n,0)$-范畴
可归纳说明 $(n,0)$-范畴就是 $n$-截断生象:
- 由定义, $(-2,0)$-范畴是单点, 即 $(-2)$-截断生象.
- 对于生象 $X$, 其为 $n$-截断生象当且仅当对任意 $x,y\in X$, 道路生象 $x=y$ 为 $(n-1)$-截断生象.
例如
- $(-1,0)$-范畴是命题,
- $(0,0)$-范畴是集合.
$(0,1)$-范畴
$(0,1)$-范畴是充实于命题的范畴, 即对任意两个对象 $x,y$, 态射范畴 $\operatorname{Hom}(x,y)$ 都是命题. 在经典逻辑中, 这意味着 $x$ 到 $y$ “要么有 (唯一的) 态射, 要么没有态射”. 若将 “$x$ 到 $y$ 有态射” 理解为 $x\leq y$, 这正是偏序集的概念.
$(1,2)$-范畴
$(1,2)$-范畴是充实于 $(0,1)$-范畴的范畴, 即两个对象之间的态射范畴为偏序集.
一个重要的例子是单纯形范畴.
$(\infty,0)$-范畴, 生象
生象, 又称 $\infty$-群胚, 即 $(\infty,0)$-范畴, 是一类重要的高阶范畴.
对于每个高阶范畴 $\mathcal C$, 都可以去掉其中所有不可逆的态射, 仅保留对象与对象之间的同构, 得到一个生象 $\mathcal C^{\simeq}$, 称为 $\mathcal C$ 的对象的生象. 一般地, $(n,r)$-范畴也可遗忘为 $(n,r')$-范畴 ($r' < r$).
$(\infty,n)$-范畴
见 $(\infty,n)$-范畴.