缠结假设 [缠结假设]

陈述

缠结假设 (tangle hypothesis) 是一系列关于各维数的缠结构成的高阶范畴的万有性质的命题.

注. 由于文献 (Lurie, Ayala–Francis 等) 记号不一, 此处使用的是一个和他们都不相同, 但看上去比较合理的记号.

我们用 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ 表示如下的 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴:

• 其对象为 $\mathbb{R}^n$ (或 $n$ 维圆盘 $D^n$) 中的带标架 $0$ 维子流形, 其上 $\mathbb E_n$-结构是直观的;
• 其 $i\leq k$ 阶态射为 $\mathbb{R}^{i+n}$ 中的 $i$ 维带标架缠结;
• 其高于 $k$ 阶态射为同痕.

如下是 $\mathsf{Tang}_1^{\mathbb E_2}$ 中的一个 $1$-态射的示意.

命题. 范畴 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ 是一个完全可对偶对象所自由生成的 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴.

等价的陈述是: 范畴 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ 是一个对象自由生成的刚性 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴.

由于逆环假设, 上述命题还有一个用 $(\infty,n+k)$-范畴陈述的版本.

我们用 $\operatorname{Tang}_{k}^{(n)}$ 表示如下的 $(\infty,n+k)$-范畴:

• 其 $i$ 阶态射为 $\mathbb{R}^{i}$ 中的余 $n$ 维带标架缠结;
• 其高于 $n+k$ 阶态射为同痕.

换言之, $\operatorname{Tang}_{k}^{(n)} = \mathrm{B}^n \operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$.

命题. 范畴 $\operatorname{Tang}_{k}^{(n)}$ 是一个基点的完全可伴随 $n$ 阶自同态所自由生成的 $(\infty,n+k)$-范畴.

与配边假设的关系

配边范畴 $\mathsf{Bord}_k$ 是 $\operatorname{Tang}_{k}^{\mathbb E_n}$ “在 $n \geq \infty$ 的极限”; 人们也称其为稳定情形. 此时 (至少直观上) 缠结假设趋向于配边假设: $\mathsf{Bord}_k$ 是一个完全可对偶对象所自由生成的对称幺半 $(\infty,k)$-范畴.