观念
充实范畴是范畴的推广, 其对象之间的 “态射集” 不是集合, 而是更一般的幺半范畴的对象.
- $n$-范畴可视为充实于 $(n-1)$-范畴的范畴. 这里, $n$-范畴指的是 $(\infty,n)$-范畴.
- 充实于 $\mathsf{Ani}$ 的范畴就是 $(\infty ,1)$-范畴.
- 充实于 $k$-模谱范畴 $\mathsf{Vect}_k$ 的范畴即是 DG 范畴.
定义
传统
设 $\mathcal{V}$ 为幺半范畴, 定义 $\mathcal{V}$-充实范畴 $\mathcal C$ 为如下结构: 一族对象 $\operatorname{ob}(\mathcal C)$, 每两个对象之间有一个态射对象 $\operatorname{Hom}(x,y)\in\operatorname{ob}(\mathcal{V})$, 每三个对象之间有一个复合态射
$$
\circ\colon \operatorname{Hom}(y,z)\otimes \operatorname{Hom}(x,y) \to \operatorname{Hom}(x,z),
$$
满足结合律, 单位律等.
使用代数胚
充实范畴是结合代数的推广, 是一种特殊的代数胚, 其底层 Segal 对象要完备.
参考 Gepner–Haugseng, Hinich, Stefanich.
性质
充实用范畴的更换
设 $F \colon \mathcal V \to \mathcal V'$ 为松幺半函子, 则由 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal C$ 可得 $\mathcal V'$-充实范畴 $\mathcal C'$, 其中
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C'}(X,Y) = F(\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X,Y)).
$$
特别地, 松幺半函子 $F\colon \mathcal V\to\mathcal V'$ 将 $\mathcal V$ 中的结合代数变为 $\mathcal V'$ 中的结合代数.
假设函子 $\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(1_{\mathcal V},-) \colon \mathcal V \to \mathsf{Set}$ 是松幺半的, 那么 $\mathcal V$-充实范畴可变为普通范畴, 这个普通范畴有时称为其底层范畴.
充实范畴的张量积
设 $\mathcal V$ 为幺半范畴, 则对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A,\mathcal B$, 可定义 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A\otimes\mathcal B$, 其对象为 $(a,b)$, $a\in\mathcal A$, $b\in\mathcal B$; 态射为
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal A\otimes \mathcal B}((a,b),(a',b')) := \operatorname{Hom}_{\mathcal A}(a,a')\otimes\operatorname{Hom}_{\mathcal B}(b,b').
$$
充实范畴上的模
当 $\mathcal V$ 为余完备闭对称幺半范畴时, $\mathcal V$-充实范畴上可定义左模, 右模, 双模, Morita 等价等等概念; 见充实范畴上的模.
与模的关系
参考 Stefanich 第 4 章.
设 $\mathcal V$ 为可表现对称幺半范畴, 则 $\mathsf{Pr}$ 中的 $\mathcal V$-模 $\mathcal A$ 可视为 $\mathcal V$-充实范畴, 满足
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(v\otimes a,a')\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(v,\operatorname{Hom}(a,a')).
$$
另一方面, $\mathcal V$-充实范畴也可自由地生成 $\mathcal V$-模: 对于 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A$, 其上的预层的范畴, 也即 $\mathcal A$-右模的范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V)$ 是其自由生成的 $\mathcal V$-模.
充实范畴与模的关系用在了高阶可表现范畴的基本定义中.
相关概念