观念
多项式函子是多项式函数 (形式幂级数) 的范畴化. 另见解析函子.
定义
设 $\mathcal C$ 为局部积闭范畴 (如意象), 固定两个对象 $X,Y\in\mathcal C$.
定义多项式函子 $\mathcal C_{/X}\to \mathcal C_{/Y}$ 为形如 $t_! p_* s^*$ 的函子, 其中 $t,p,s$ 如下图:
$$
X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y
$$
$t_!$ 是 $t^*$ 的左伴随, $p_*$ 是 $p^*$ 的右伴随.
直观上,
- $s^*$ 是在每个 $e\in E$ 上放一个来自 $X$ 的东西,
- $p_*$ 是对每个 $b \in B$ 将 $b$ 上的一堆东西相乘 (见依值积),
- $t_!$ 是对每个 $y\in Y$ 将 $y$ 上的一堆东西相加 (见依值和);
- 因此 $t_! p_* s^*$ 就是 “拿 $X$ 个不同的东西, 每个可以拿多份, 共有 $E$ 份; 然后将这 $E$ 份分成 $B$ 组; 将每一组乘起来, 将这 $B$ 个乘积再分成 $Y$ 组, 每一组加起来”. 这正是多项式的直观, 只是这里每一项的 “次数” 以及 “项数” 都未必有限.
注. 当 $p\colon E\to B$ 的纤维离散且有限时, 所得的多项式函子是解析函子.
性质
复合
多项式的重要性质是: 多项式的复合仍是多项式. 多项式函子也是如此.
文献中记载着一种使用巨大交换图的证明 (见 Gepner–Haugseng–Kock 定理 2.1.8), 但我们使用一种类似于依值类型论的表述, 这样似乎更直观, 因为在语法的形式上, 它和 “多项式的复合仍是多项式” 的证明完全一致. 实际上这和那个巨大交换图证明说的是同一件事.
首先, 将图 $X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y$ 给出的多项式函子记为
$$
A(x) \mapsto \sum_{b\in t^{-1}(y)} \prod_{e\in p^{-1}(b)} A(s(e)).
$$
现设有两个图
- $X \overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\rightarrow} Y$,
- $Y \overset{u}{\leftarrow} F \overset{q}{\rightarrow} C \overset{v}{\rightarrow} Z$.
那么两个多项式函子的复合为
$$
A(x) \mapsto \sum_{c\in v^{-1}(z)} \prod_{f\in q^{-1}(c)} \sum_{b\in t^{-1}(u(f))} \prod_{e\in p^{-1}(b)} A(s(e)).\,\,\,\,\,(\star)
$$
我们的想法是将中间的 “和的积” 展开为 “积的和”, 从而将 $\Sigma\Pi\Sigma\Pi$ 化简为 $\Sigma\Sigma\Pi\Pi$, 再化简为 $\Sigma\Pi$.
$$
\begin{aligned}
&\prod_{f\in q^{-1}(c)}\sum_{b\in t^{-1}(u(f))} B(b)\\
&=\sum_{g\colon (f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))}\prod_{f\in q^{-1}(c)}B(g(f)),
\end{aligned}
$$
其中 $(f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))$ 是依值积类型 $\prod_{f: q^{-1}(c)}t^{-1}(u(f))$ 的简写.
于是 $(\star)$ 的右端等于
$$
\sum_{c\in v^{-1}(z),g\colon (f: q^{-1}(c))\to t^{-1}(u(f))}\prod_{f\in q^{-1}(c), e\in p^{-1}(g(f))} A(s(e)).
$$
这便证明了它是多项式函子.