Blakers–Massey 定理 [Blakers–Massey定理]

观念

若采取 “高连通度 = 小” 的直观 (见 Goodwillie 演算), 那么 Blakers–Massey 定理说的是: 在一个小邻域内, 推出近乎于拉回.

陈述

考虑 $\mathsf{Ani}$ 中的如下推出图, $$ \begin{CD} A @>{f}>> B \\ @V{g}VV @VVV \\ C @>>> D \end{CD} $$ 若 $f$ 是 $m$-连通映射, $g$ 是 $n$-连通映射, 则 $$ A \to B\times_D C $$ 是 $(m+n)$-连通映射.

在模态中的推广

ABFJ 的文章给出了 Blakers–Massey 定理的推广:

定理. 设 $(L,R)$ 是意象中的模态 (即关于基变换封闭的正交分解系), 考虑推出图 $$ \begin{CD} A @>{f}>> B \\ @V{g}VV @VVV \\ C @>>> D, \end{CD} $$ 若对角线的推出积 $\Delta_f \operatorname{\square}_Z \Delta_g$ 属于 $L$, 则映射 $A \to B\times_D C$ 属于 $L$.

证明

例

取 $B = C = *$, 则有 $D = \Sigma A$, 而拉回为 $*\times_{\Sigma A} * = \Omega \Sigma A$. 我们得到 Freudenthal 纬悬定理: 对于 $n$-连通空间 $A$, $A\to\Omega\Sigma A$ 是 $2n$-连通映射.