Goodwillie 演算 [Goodwillie演算]
Goodwillie 演算 [Goodwillie演算]
观念
微积分研究一个函数在自变量经历微小改变时函数的变化. Goodwillie 提出对一类函子做类似的事情. 这类函子的自变量是空间 (生象), 而生象 $X$ 经历的 “微小的改变” 指的是一个连通性较高的映射 $Y\to X$.
两个连通性较高的映射的复合, 其连通性仍较高. 具体而言, $n$-连通映射复合 $m$-连通映射至少是 $\operatorname{min}(n,m)$-连通的.
纬悬操作提升空间的连通性, 不断作纬悬会让空间越来越 “小”, 直至趋于可缩. 类似地, 纬悬也会提升一个映射的连通性: 对于映射 $Y\to X$, 其纬悬 $\Sigma Y\to \Sigma X$ 的连通性总是提升.
相应地, 取环路空间的操作会降低连通性. 如果纬悬像是微积分中乘以一个小量, 那么环路空间就像是除以这个小量.
| 同伦论 | 微积分 |
|---|---|
| 带基点空间 | 形式幂级数环 $k[\![x]\!]$ |
| 圆圈 $S^1$ | $x$ |
| 纬悬 | 乘以 $x$ |
| 环路空间 | 除以 $x$ |
| 带基点连通空间 | 理想 $x k[\![x]\!]$ |
| 带基点 $n$-连通空间 | 理想 $x^n k[\![x]\!]$ |
回忆 Blakers–Massey 定理, 考虑 $\mathsf{Ani}$ 中的如下推出图, $$ \begin{CD} A @>{f}>> B \\ @V{g}VV @VVV \\ C @>>> D \end{CD} $$ 若 $f$ 是 $m$-连通映射, $g$ 是 $n$-连通映射, 则 $$ A \to B\times_D C $$ 是 $(m+n)$-连通映射. 这可以理解为在一个小邻域内, 推出近乎于拉回.