解析函子是解析函数 (形式幂级数) 的范畴化, 有多个不同场合的相互关联的概念.
注意这个概念不同于 Goodwillie 演算中的解析函子.
定义
生象范畴上
参考 Gepner–Haugseng–Kock.
考虑生象的范畴 $\mathsf{Ani}$.
定义. 称保持弱可缩极限与筛余极限的函子 $\mathsf{Ani}_{/I} \to \mathsf{Ani}_{/J}$ 为解析函子.
下面的命题为理解上述定义提供了重要的直观.
命题. 函子 $F\colon \mathsf{Ani} \to \mathsf{Ani}$ 为解析函子, 当且仅当 $F$ 为其在 $\mathsf{Fin}^{\simeq}$ 上的限制的左 Kan 扩张, 也即有如下 “Taylor 展开”
$$
F(A) = \int_{N\in\mathsf{Fin}^{\simeq}}F(N)\times A^N = \bigsqcup_{N\geq 0}F(N)\times_{S_N}A^N.
$$
其中 $S_N$ 表示对称群, 作用于 $F(N)$ 与 $A^N$ 上.
性质
与多项式函子的关系
见多项式函子.