逆环假设 [逆环假设]

观念

逆环假设 (delooping hypothesis) 是一系列关于高连通性的高阶范畴与带 $\mathbb E_n$ 结构的高阶范畴之间的对应的命题.

陈述

命题. 一个 $(\infty,n+k)$-范畴, 小于 $n$ 阶的态射都唯一, 那么它等同于 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴: $$ \mathsf{Cat}_{(\infty,n+k)}^{*,\geq n} \ \begin{aligned} \overset{\Omega^n}{\longrightarrow}\\ \underset{\mathrm{B}^n}{\longleftarrow} \end{aligned}\ \mathsf{Alg}_{\mathbb E_n} (\mathsf{Cat}_{(\infty,k)}). $$

注.

• 等价的两边是 $(\infty,1)$-范畴, 即我们不考虑更高阶不可逆态射.
• $\mathsf{Cat}_{(\infty,n+k)}^{*,\geq n}$ 是带基点 $(n-1)$-连通 $(\infty,n+k)$-范畴的范畴, 这里的基点很重要.
• $\Omega := \operatorname{End}(*)$ 是取基点对象的自同态; 对于带基点 $\mathbb E_{n}$-幺半 $(\infty,k)$-范畴 $\mathcal C$, 有 $\Omega\mathcal C$ 为带基点 $\mathbb E_{n+1}$-幺半 $(\infty,k-1)$-范畴.
• 对于 $\mathbb E_n$-幺半 $(\infty,k)$-范畴 $\mathcal C$, 其 “逆环” $\mathrm{B}\mathcal C$ 是 $\mathbb E_{n-1}$-幺半 $(\infty,k+1)$-范畴; $\mathrm{B}$ 就是 $\Omega$ 的逆运算.

例

$n=1,k=0$ - 仅有一个对象的范畴等同于幺半群:

$$ \mathsf{Cat}_{(\infty,1)}^{*,\geq 1} \ \begin{aligned} \overset{\Omega}{\longrightarrow}\\ \underset{\mathrm{B}}{\longleftarrow} \end{aligned}\ \mathsf{Alg}_{\mathbb E_1} (\mathsf{Ani}). $$