观念
在 $\infty$-范畴中, 一个范畴内部的范畴可由完备 Segal 对象描述.
定义
Segal 对象
首先我们重复 Segal 对象的定义. 直观上, 它是一些可复合的态射构成的结构, 已经接近于范畴的概念, 但还有差距.
设 $\mathcal C$ 为 $\infty$-范畴. 定义 $\mathcal C$ 中的一个 Segal 对象是一个单纯对象 $X \colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 满足对任意 $m,n\in\mathbb{N}$, 下图为拉回 (直观: “态射可复合”).
$$
\begin{array}
{ccc}
X_{m+n} & \to & X_m \\
\downarrow && \downarrow \\
X_n & \to & X_0
\end{array}
$$
该图来自 $\Delta$ 中的如下交换图.
$$
\begin{array}
{ccc}
\{0 < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{0 < \cdots < m\} \\
\uparrow && \uparrow \\
\{m < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{m\}
\end{array}
$$
记 $\mathsf{Segal}(\mathcal C) \hookrightarrow \mathsf{Fun}(\Delta^{\mathrm{op}},\mathcal C)$ 为 Segal 对象在单纯对象中构成的全子范畴.
完备 Segal 对象
群胚对象
例
对称幺半范畴
参考 Antieau. 可证明对称幺半范畴等同于 $\mathbb E_\infty$-生象范畴 $\mathsf{CAlg}(\mathsf{Ani})$ 中的范畴对象. 事实上, 两者均为
$$
\mathsf{Fun}(\mathsf{Fin}_*\times\Delta^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})
$$
的全子范畴. 又由于函子范畴中的极限是逐点的, 可验证两个子范畴相同.