百科. 群胚对象 (∞-范畴论) [群胚对象]

观念

群胚对象可视为 $1$-范畴论中 “等价关系” 的概念在 $\infty$-范畴论中的推广. 与等价关系类似, (在意象中) 每个群胚对象都给出一个商映射, 而每个满射都通过 Čech 脉给出一个群胚对象. 这是刻画意象的 Giraud 公理的一部分.

定义

设范畴 $\mathcal C$ 具有有限极限. 定义 $\mathcal C$ 中的群胚对象是满足如下条件的单纯对象 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$:

• 对任意 $n\geq 2$, 若 $[n] = \{0< 1<\cdots < n\} = S \cup T$, 且 $S\cap T = \{i\}$, 则 $X([n]) \to X(S)\times_{X_{\{i\}}} X(T)$ 为等价.

例如, $\{0<1<2\} = \{0<1\} \cup \{0< 2\}$, 上述条件说 $X(\{0<1<2\}) \to X(\{0<1\})\times_{X_{\{0\}}} X(\{0<2\})$ 为等价. 直观上, 这表示从同一对象出发的任意两个态射都互相穿过.

商映射

群胚对象 $X$ 的商映射定义为映射 $$ X_0 \to \operatorname{colim}X. $$

其中 $\operatorname{colim}X$ 又称为 $X$ 的几何实现.