百科. 群胚 [群胚]

观念

群胚是所有态射均为同构的范畴.

群胚可视为 “集合” 概念的推广, 即 “元素可带有自同构” 的集合. 这种推广的极致是 $\infty$-群胚, 即生象.

另见群胚对象.

定义

严格 1-群胚

严格 $1$-群胚是所有态射均为同构的严格 $1$-范畴. 一个严格 $1$-群胚包含如下资料:

  • 集合 $G_1,G_0$,
  • 映射
    • $s,t\colon G_1\to G_0$ (起点和终点),
    • $e\colon G_0\to G_1$ (单位),
    • $i\colon G_1\to G_1$ (逆),
    • $m\colon G_1{_s\times_t} G_1 \to G_1$ (纤维积上定义的乘法, 注意 “先走第二个箭头, 再走第一个箭头”) 给出,

满足如下条件,

  • (乘法的起止) $s\circ m = s\circ \text{pr}_2$, $t\circ m = t\circ \text{pr}_1$;
  • (结合律) …;
  • (逆的起止) $s\circ i = t$, $t\circ i = s$;
  • (逆的性质) $m\circ (\operatorname{id}_{G_1}\times i)= e\circ t$, $m\circ (i\times \operatorname{id}_{G_1})= e\circ s$;
  • (单位的起止) $s\circ e= t\circ e = \operatorname{id}_{G_0}$;
  • (单位的性质) $m\circ (e\circ t\times \operatorname{id}_{G_1})=m\circ (\operatorname{id}_{G_1}\times e\circ s)=\operatorname{id}_{G_1}$.