观念
群 $G$ 的逆环路空间 (delooping) 是 $G$-主齐性空间的生象, 也即 $G$-主丛的分类空间.
在 $\infty$-意象 $\mathcal X$ 中, 逆环路空间函子给出了群的范畴 $\mathsf{Grp}(\mathcal X)$ 到带基点连通对象的范畴 $\mathcal X^{\geq 1}_{*/}$ 的等价.
更一般地, $n$ 阶逆环路空间给出了 $\mathbb E_n$-群的范畴到带基点 $n$-连合对象的范畴 $\mathcal X^{\geq n}_{*/}$ 的等价.
对象 $X$ 到 $\mathbb E_n$-群 $A$ 的 $n$ 阶逆环路空间 $\mathbf{B}^n A$ 的映射同伦类称为 $n$ 阶上同调 $H^n(X,A)$.
比群更一般的幺半群 $M$ 也可以谈论逆环路空间 $\mathbf{B}M$. 注意有两个不同对象记作 $\mathbf{B}M$, 一是逆环路空间, 二是 $M$ 对应的单对象范畴 (满足 $\operatorname{End}(*)=M$).
定义
通过几何实现
在 $\infty$-意象中, 群 (或幺半群) $G$ 的逆环路空间是单纯对象
$$
\mathbf{B}^\bullet G = (\cdots G\times G\times G \to^4 G\times G \to^3 G\rightrightarrows *)
$$
的几何实现 (余极限), 也即杠构造
$$
\mathbf{B}^\bullet G := *\times_G * := B(*,G,*).
$$
在拓扑空间的 $1$-范畴中, 拓扑群 $G$ 的逆环路空间可实现为拓扑空间
$$
\begin{aligned}
|\mathbf{B}G| &= \bigcup_{(g_1,\cdots,g_n)} |\Delta^n|\\
& = \bigcup_n \underbrace{G * G * \cdots * G}_n.
\end{aligned}
$$
通过环路空间的逆/伴随
群的逆环路空间函子 $\mathbf{B}\colon \mathsf{Grp} \to \mathsf{Ani}_{*/}^{\text{conn}}$ 可直接定义为环路空间函子 $\Omega\colon \mathsf{\mathsf{Ani}_{*/}^{\text{conn}}} \to \mathsf{Grp}$ 的逆.
幺半群的逆环路空间函子 $\mathbf{B}\colon \mathsf{Mon} \to \mathsf{Ani}_{*/}^{\text{conn}}$ 则是环路空间函子 $\Omega\colon \mathsf{\mathsf{Ani}_{*/}^{\text{conn}}} \to \mathsf{Mon}$ 的左伴随. 复合函子 $\Omega\mathbf{B}\colon \mathsf{Mon}\to\mathsf{Grp}$ 是幺半群的群化.
例
- $\mathbf{B}\mathbb{Z} \simeq S^1$.
- $\mathbf{B}\mathbb{Z}/2 \simeq \mathbb RP^\infty$.
- $\mathbf{B}S^1 \simeq \mathbb{C}P^{\infty}$.
- $\mathbf{B}\mathrm{O}(n)\simeq\mathbf{B}\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})=\text{Gr}_n(\mathbb{R}^{\infty})$ 是 Grassmann 流形, 其 $\mathbb{Z}_2$ 系数上同调类为 Stiefel–Whitney 类:
$$
H^*(\mathbf{B}\mathrm{O}(n);\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2[w_1,\cdots,w_n],
$$
其中 $w_k\in H^k$.
- $\mathbf{B}\mathrm{U}(n)\simeq\mathbf{B}\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})=\text{Gr}_n(\mathbb{C}^{\infty})$ 是复 Grassmann 流形, 其 $\mathbb{Z}$ 系数上同调为陈类:
$$
H^*(\mathbf{B}\mathrm{U}(n);\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[c_1,\cdots,c_n],
$$
其中 $c_k\in H^{2k}$.
性质
映射空间
两个群的逆环路空间之间的映射空间为
$$
\operatorname{Hom}(\mathbf{B}H,\mathbf{B}G) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Grp}}(H,G)/_{\mathrm{Ad}}G,
$$
其中 $\mathrm{Ad}$ 是 $G$ 在 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Grp}}(H,G)$ 上的共轭作用.
函子性与关联丛
对于群同态 $\varphi\colon H\to G$, 有 $H$ 通过 $\varphi$ 在 $G$ 上的左乘作用.
映射 $\mathbf{B}\varphi\colon \mathbf{B}H\to \mathbf{B}G$ 是 $\mathbf{B}H$ 上的万有 $H$-主丛通过该作用关联的 $G$-主丛的分类映射.
与 Eilenberg–Maclane 空间的关系
对于离散群 $G$, 其分类空间 $\mathbf{B}G$ 是 Eilenberg–Maclane 空间 $K(G,1)$.
上同调
若 $G$ 紧或半单, 陈–Weil 理论给出同构
$$
H^*(\mathbf{B}G;\mathbb{C})\simeq \mathbb{C}[\mathfrak g]^G.
$$
其中 $\mathbb{C}[\mathfrak g]^G$ 称为不变多项式代数, 从而由不变多项式可以给出示性类.
模型
Milnor 构造
Milnor 将分类空间 $BG$ 构造为 $n$ 重连接 $G * G * \cdots * G$ 的余极限. (这个构造关于 $G$ 有函子性.)
等价地, $BG$ 可构造为单对象范畴 $G$ 的脉的几何实现.
有限群
对任意有限群 $G$, 取 $G$ 的酉表示, 则可得 $G$ 在 $S^\infty\subset \mathbb{C}^{\infty}$ 上的自由作用, 从而构造 $\mathbf{B}G$.