轨形是局部上像欧氏空间在有限群作用下的商的空间. 范畴论中的群胚概念自然体现出了轨形.
定义
首先引入群作用的一些术语.
定义. 称拓扑群 $G$ 在空间 $M$ 上的作用为
- 紧合作用 (proper action), 是指映射 $G\times M\to M\times M, (g,m)\mapsto (g\cdot m,m)$ 紧合;
- 有效 (effective) 作用, 是指每个 $g\in G\setminus\{e\}$ 在 $M$ 上的作用都非平凡 (即恒等映射);
- 几乎自由 (almost free) 的作用, 是指每个 $x\in M$ 的固定子群 $G_x$ 都是有限群.
设 $X$ 为仿紧 (paracompact) Hausdorff 空间, 给定正整数 $n$. $X$ 上的 $n$ 维光滑轨形 (smooth orbifold) 结构由一个轨形图册 (orbifold atlas) 的等价类给出.
所谓轨形图册是一族坐标卡 $(U,H,\phi)$, 其中 $U\subset \mathbb{R}^n$ 是开集, $H$ 是有限群, $H$ 光滑地作用于 $U$ 上, $\phi\colon U\to \text{im}\phi\subset X$ 是 $H$-不变的连续映射 (即 $\phi(x)=\phi(hx),\forall h\in H$), 诱导了同胚 $U/H \to \text{im}\phi$.
注. 人们在早期的定义中要求这个作用是有效的, 但后来去掉了这个限制.
定义坐标卡的嵌入 (embedding) $\lambda \colon (U_1,H_1,\phi_1)\to (U_2,H_2,\phi_2)$ 为满足 $\phi_2\circ\lambda =\phi_1$ 的映射.
轨形的现代定义是由轨形群胚表示的叠.
例
商轨形
命题. 设 Lie 群 $G$ 紧合, 有效, 几乎自由地作用于流形 $M$ 上. 那么商空间 $M/G$ 具有自然的轨形结构. 称为商轨形 (quotient orbifold) $M//G$.
证明. 先证 $M/G$ 是 Hausdorff 空间. 令 $R=\{(x,y)\in M\times M: Gx=Gy\}$, 即映射 $G\times M\to M\times M,(g,x)\mapsto (gx,x)$ 的像集. 由于局部紧空间之间的紧合映射是闭映射, 知 $R$ 是闭集. 因为商映射 $\pi\colon M\to M/G$ 是开映射, 所以 $\pi((M\times M) \setminus R)$ 是开集. 而后者是 $M/G \times M/G$ 的对角线的补集. 这说明 $M/G$ 是 Hausdorff 空间.
下面给出 $X/G$ 上的轨形图册. 对于 $x\in M$ 考虑邻域: $S_x := \exp(B_\varepsilon (0))$, 则 $(B_\varepsilon (0),G_x,\pi\circ \exp)$ 构成一个轨形局部坐标.
(下略)
当一个轨形可表示为 $M//G$ 且 $G$ 离散时, 称其为良好的 (good) 轨形; 否则称为坏的 (bad) 轨形.
分类空间
轨形态射 $B\to [\text{pt}/G]$ 对应于 $B$ 上的 $G$-主丛. 因此 $[\text{pt}/G]$ 是 $G$-主丛的分类叠.
相关概念
ADE 奇点