观念
许多代数结构可理解为某个单子上的代数. 这种结构构成的范畴到基础范畴有一个遗忘函子, 我们称这个函子为单子性函子 (monadic functor).
定义
设 $G \colon \mathcal D \to \mathcal C$ 为函子, 若有 $\mathcal C$ 上的单子 $A$, 使得 $G$ 等价于遗忘函子 $\mathsf{Alg}_A(\mathcal C) \to \mathcal C$, 则称之为单子性函子.
性质
单子性函子 $G$ 有左伴随 $F$, 即单子 $A$ 的 “自由代数” 函子 $X\mapsto AX$.
判定
判定单子性函子的常用方法是 Barr–Beck–Lurie 定理.
定理. $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 为单子性函子当且仅当 $G$ 保守, 且创生 $G$-分裂单纯对象的几何实现.
详见 Barr–Beck–Lurie 定理.
另有一些较粗糙的判定定理, 给出单子性的充分而不必要条件.
如下定理是对 $1$-范畴陈述的.
定理. 对于函子 $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$, 若 $G$ 有左伴随, $G$ 反映同构, $\mathcal D$ 具有余等化子, 且 $G$ 保持余等化子,
则 $G$ 为单子性函子.
例
一个出人意料的例子: 紧 Hausdorff 空间的范畴 $\mathsf{CHaus}$ 在集合范畴 $\mathsf{Set}$ 上是单子性的.
自反子范畴
自反子范畴的嵌入 $\mathcal D\hookrightarrow\mathcal C$ 是单子性的.
下降
许多下降现象表述为单子性.