分裂单纯对象 [单纯对象的分裂]

定义

记 $\mathrm{surj}(j,k)$ 为单纯集 $\Delta^j$ 到 $\Delta^k$ 的满射的集合.

设 $K$ 为单纯对象, 其 $n$ 阶分裂是一系列子对象 $N_k \subset K_k\,(k\leq n)$, 称为非退化部分, 满足对 $0\leq j\leq n$, 有典范的同构 $\coprod_{\mathrm{surj}(j,k)}N_k \to K_j$. 直观上, 这个条件是说 $K$ 的每个可能退化的单形都唯一地对应一个非退化单形.

作为可缩单纯对象

记 $\Delta_{\bot}$ 为有限非空全序集与保持最小值的映射构成的范畴. 事实上, $$ \Delta_{\bot} = \mathsf{LMod}_{\Delta_+}([0]) $$ 是游走的结合代数 $[0]$ 上的左模范畴. 因此其到增广单纯形范畴 $\Delta_+$ 的函子 (注意并非全忠实函子) $i\colon \Delta_{\bot}\hookrightarrow \Delta_+$ 有左伴随 $C_+\colon \Delta_+ \to \Delta_{\bot}$, $[n]\mapsto [0] * [n]$ (“对全序集自由地添加一个最小值”, 可类比于锥操作). 从而 (当 $\mathcal C$ 完备且余完备时) 有预层范畴之间的四元伴随 $$ i_!\dashv [(C_+)_!=i^*] \dashv [(C_+)^* =i_*] \dashv (C_+)_* $$

设 $X\colon \Delta_+^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ 为增广单纯对象, 定义其分裂为下图.

换言之, $X = (C_+)^* \overline{X} = i_*\overline{X}$. 注意, 伴随关系 $$ \operatorname{Hom}_{\Delta_\bot}(C_+-,-)\simeq\operatorname{Hom}_{\Delta_+}(-,i-) $$ 直接给出 $(C_+)^*$ 在可表函子上的作用 $(C_+)^*\mathbf{y}([n]) = \mathbf{y}(i[n])$. 而 $(C_+)^*$ 作为左伴随保持余极限, 故有如下直观: $\Delta_\bot$ 的对象为固定顶点的锥, $\overline{X}$ 是一族固定顶点的锥的粘合, 从而是可缩到顶点的单纯对象.

性质

集合范畴中的单纯对象 (单纯集) 有唯一的分裂.

单纯对象若存在分裂, 则分裂唯一.

参考资料

Artin, Mazur, Etale Homotopy Theory