Wiki. E_M-算畴 [E_M-算畴]
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观念
$\mathbb E_M$-算畴是指流形 $M$ 给出的一个算畴, 其颜色为 $M$ 中的开圆盘 (即 $\mathbb{R}^n$ 到 $M$ 的开嵌入), 运算为不交圆盘的含入.
对任意映射 $B \to \mathsf{BTop}(n)$ 都有 $\mathbb E_B$-算畴. 流形 $M$ 带有映射 $M \to \mathsf{BTop}(n)$, 而 $\mathbb E_M$ 是 $\mathbb E_B$ 的特例.
定义
记
- $\mathsf{Mfd}_n$ 为 $n$ 维流形以及之间的嵌入构成的 $\infty$-范畴,
- $\mathsf{BTop}(n)$ 为其中 $\mathbb{R}^n$ 构成的全子范畴, 它是生象群 $\mathsf{Top}(n) := \operatorname{Emb}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ 的逆环路空间,
注. 对任意流形 $M\in\mathsf{Mfd}_n$, 范畴 $\mathsf{BTop}(n)_{/M}$ 实际上是一个生象, 且等价于 $\operatorname{Sing}M$. 遗忘函子 $\mathsf{BTop}(n)_{/M} \to \mathsf{BTop}(n)$ 等同于映射 $\operatorname{Sing} M \to \mathsf{BTop}(n)$, 它是 $M$ 的切丛的分类映射.
范畴 $\mathsf{BTop}(n)$ 上还有一个算畴结构, 记作 $\mathsf{BTop}(n)^\otimes$, 其 $k$ 元运算为 $k$ 个 $\mathbb{R}^n$ 的无交并到 $\mathbb{R}^n$ 的嵌入.
接下来定义算畴 $\mathbb E_M$. 其底层范畴为 $\mathsf{BTop}(n)_{/M}$, 运算为 $M$ 的嵌入子流形之间的含入 $$ \begin{array} {ccc} \sqcup_k \mathbb{R}^n &&\\ \downarrow & \searrow &\\ \mathbb{R}^n & \to & M. \end{array} $$ (注意图中 $\sqcup_k \mathbb{R}^n \to M$ 为嵌入, 即 $k$ 个圆盘互不相交.) 更严格地说, 算畴 $\mathbb E_M$ 是如下的拉回: $$ \begin{array} {ccc} \mathbb E_M & \to & \mathsf{BTop}(n)^\otimes \\ \downarrow & & \downarrow \\ (\mathsf{BTop}(n)_{/M})^{\sqcup} & \to & (\mathsf{BTop}(n))^{\sqcup}. \end{array} $$
这里似乎无法用 “纯 $\infty$-范畴” 的语言来描述这个算畴, 无可避免地需要来自流形范畴的同伦信息.