Wiki. 非交换 Poincaré 对偶 [nonAbPD]

陈述

设 $M$ 为流形, 记 $\operatorname{Sing} M$ 为其对应的生象.

设 $X \colon \operatorname{Sing}M \to \mathsf{Ani}_{*}$ 为函子, $U\subset M$ 为开集. 定义 $X$ 在 $U$ 上的紧支集截面的空间为 $$ \Gamma_{\mathrm{c}}(U,X) = \operatorname{colim}_{K\subset U} \Gamma(\operatorname{Sing}M,X) \times_{\Gamma(\operatorname{Sing}(M\setminus K),X)} *, $$ 其中 $K\subset U$ 取遍 $U$ 的紧子集. 那么 $\Gamma_{\mathrm{c}}(U,X)$ 关于 $U,X$ 均有 (协变) 函子性.

考虑两个算畴, 一是 $\mathcal U(M)$, 其颜色为 $M$ 的开子集, 运算为不交开集的含入. 另一个是 $\mathbb E_M$ 算畴.

非交换 Poincaré 对偶是如下命题: $$ \int_M \Omega_M X \simeq \Gamma_{\mathrm{c}}(M,X). $$