百科. 非交换 Poincaré 对偶 [nonAbPD]

陈述

设 $M$ 为流形, 同时用 $M$ 表示其对应的生象.

紧支集截面

设 $X \colon M \to \mathsf{Ani}_{*}$ 为函子, $U\subset M$ 为开集. 定义 $X$ 在 $U$ 上的紧支集截面的空间为 $$ \Gamma_{\mathrm{c}}(U,X) = \operatorname{colim}_{K\subset U} \Gamma(M,X) \times_{\Gamma(M\setminus K,X)} *, $$ 其中 $K\subset U$ 取遍 $U$ 的紧子集. 直观地, $\Gamma_{\mathrm{c}}(U,X)$ 的元素就是 $U$ 上取值于 $X$ 的函数, 在一个紧集之外的取值均为 $X$ 的基点.

那么 $\Gamma_{\mathrm{c}}(U,X)$ 关于 $U,X$ 均有 (协变) 函子性.

环路空间

记 $\mathsf{BTop}(n)$ 为 $n$-维流形与嵌入构成的 $\infty$-范畴中由 $\mathbb{R}^n$ 一个对象构成的全子范畴. 考虑范畴 $\mathsf{BTop}(n)_{/M}$, 即由嵌入 $\mathbb{R}^n\to M$ 构成的 $\infty$-范畴.

事实上, $\mathsf{BTop}(n)_{/M}$ 与生象 $M$ 之间有一个等价. 下面我们固定这个等价, 将二者等同起来.

非交换 Poincaré 对偶

非交换 Poincaré 对偶是如下命题: $$ \int_M \Omega_M X \simeq \Gamma_{\mathrm{c}}(M,X). $$

与经典 Poincaré 对偶的关系

下表显示了经典 Poincaré 对偶如何构成非交换 Poincaré 对偶的特例.