Wiki. E_B-算畴 [E_B-算畴]

算畴 $\mathbb E_B$ 是 Lurie HA (Definition 5.4.2.10) 引入的一个记号, 对任意映射 $B \to \mathsf{BTop}(n)$ 定义一个算畴 $\mathbb E_B$, 推广了 $\mathbb E_n$-算畴.

定义

记 $\mathsf{BTop}(n)$ 为拓扑群 (生象群) $\mathsf{Top}(n):=\operatorname{Aut}_{\mathsf{Top}}(\mathbb{R}^n)$ 的逆环路空间, 也即流形与嵌入构成的 $\infty$-范畴 $\mathsf{Mfd}_n$ 中 $\mathbb{R}^n$ 一个对象构成的全子范畴.

回忆任何范畴 $\mathcal C$ 均给出算畴 $\mathcal C^{\coprod}$, 其 $m$ 元运算为 $$ \operatorname{Hom}(X_1,\cdots,X_m; Y) := \prod_{i=1}^m \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(X_i,Y). $$

考虑算畴 $\mathsf{BTop}(n)^\otimes$, 其 $m$ 元运算为开嵌入 $\sqcup_m\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$.

给定映射 $B\to \mathsf{BTop}(n)$, 定义 $\mathbb E_B$ 为如下算畴: $$ \mathbb E_B := \mathsf{BTop}(n)^\otimes \times_{\mathsf{BTop}(n)^{\coprod}}B^{\coprod}. $$