生象群 [GrpAni]

在 $\infty$-范畴的语境中, 正如子集的概念常常替换为一般映射, 子群的概念常常替换为一般同态. 对子群定义的陪集空间也可对任何群同态定义.

核

对于生象群同态 $f\colon G\to H$, 其核由如下纤维列定义: $$ \mathbf{B}\ker f \to \mathbf{B}G \overset{\mathbf{B}f}{\to} \mathbf{B}H. $$ 也即 $$ \mathbf{B}\ker f = \operatorname{fib}(\mathbf{B}f) = \mathbf{B}G \times_{\mathbf{B}H}*. $$

余核

对于生象群同态 $f\colon G\to H$, 其余核由如下余纤维列定义: $$ \mathbf{B}G \overset{\mathbf{B}f}{\to} \mathbf{B}H \to \mathbf{B}\operatorname{coker}f. $$

注意. 余核的行为与经典群论中的概念很不同.

  • 即使对于正规子群, $\operatorname{coker}f$ 一般也不是 $H$ 在 $G$ 上右作用的商 $G/H$.
  • 即使对于正规子群, $H\to\operatorname{coker}f$ 的核一般也不是 $G$.

例. $2\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ 的余核是 $\Omega\mathbb{RP}^2$ 而不是 $\mathbb{Z}/2$.

相关概念

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