定义
定义 $n$-截断群 $G$ 的 $n$-截断外自同构群 (outer automorphism group) 为其逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 作为生象的自同构群的 $n$-截断:
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Out}_{\leq n}(G)&:=
\tau_{\leq n}
(\operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}}(G) /_{\mathrm{Ad}} G)\\
& =\tau_{\leq n}\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G).
\end{aligned}
$$
注. 两个群的逆环路空间之间 (作为不带点生象) 的映射空间满足
$$
\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}G,\mathbf{B}H)\simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Grp}(\mathsf{Ani})}(G,H)/_{\mathrm{Ad}} H,
$$
即群同态的生象关于 $H$ 的共轭作用的商.
离散群
考虑 $G$ 为离散群 ($0$-截断群) 的情形.
考虑群 $G$ 的外自同构群
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Out}(G)&=
\tau_{\leq 0}
(\operatorname{Aut}_{\mathsf{Grp}}(G) /_{\mathrm{Ad}} G)\\
& =\tau_{\leq 0}\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G).
\end{aligned}
$$
一个生象 $A$ 在某点处的连通分支是 $A\to\tau_{\leq 0} A$ 在该点的纤维. 由中心 $Z(G)$ 的定义, $\mathbf{B}Z(G)$ 是 $\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G)$ 在 $\mathrm{id}$ 处的连通分支. 那么有短正合列
$$
\mathbf{B}Z(G) \to \operatorname{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G)
$$
以及纤维列
$$
\begin{aligned}
\mathbf{B}Z(G) &\to \operatorname{Aut}(\mathbf{B}G) \to \operatorname{Out}(G)\\
\to \mathbf{B}^2Z(G) &\to \mathbf{B}\operatorname{Aut}(\mathbf{B}G) \to \mathbf{B}\operatorname{Out}(G).
\end{aligned}
$$
相关概念
内自同构