观念
位象是无点拓扑学的最基本概念. 一个位象是一个偏序集, 满足与拓扑空间中的开集构成的偏序集类似的性质. 但是位象不像拓扑空间那样是由点构成的: 事实上, 一个非平凡的位象可以没有任何点.
位象又称 $0$-意象. 这体现了它是一座概念塔的最底层: 位象之上还有 $1$-意象直至 $\infty$-意象.
定义
一个位象 (locale) $X$ 对应满足如下条件的偏序集 $\mathcal O(X)$:
- $\mathcal O(X)$ 具有有限交 (也即有限极限) $a\land b$;
- $\mathcal O(X)$ 具有任意并 (也即任意余极限) $\bigvee_i a_i$;
- $\mathcal O(X)$ 的有限交关于任意并有分配律
$$
\Big(\bigvee_i a_i\Big) \land b = \bigvee_i (a_i \land b).
$$
位象 $X$ 到 $Y$ 的态射 $f\colon X\to Y$ 对应于偏序集之间的一对伴随
$$
f^*\colon \mathcal O(Y) \rightleftarrows \mathcal O(X) \colon f_*,
$$
其中 $f^*$ 为左伴随 (从而 $f^*$ 须保持任意并), 且保持有限交. 相应地, $f_*$ 为右伴随, 从而须保持任意交.
位象的点
考虑单点对应的位象 $\mathrm{pt}$, 有 $\mathcal O(\mathrm{pt}) = \{\bot,\top\}$ ($\bot$ 是最小元, $\top$ 是最大元). 定义位象 $X$ 的点为态射
$$
x\colon \mathrm{pt} \to X.
$$
这等同于一个保持有限交和任意并的映射
$$
x^*\colon \mathcal O(X) \to \{\bot,\top\},
$$
从而等同于 $\mathcal O(X)$ 的一个子集 $P := (x^*)^{-1}(\top)$, 满足
- $\top\in P$;
- 若 $U,V\in P$, 则 $U\land V\in P$;
- 若 $U\in P$, $U\leq V$, 则 $V\in P$;
- 对任意一族元素 $U_i$, 若 $\bigvee_i U_i\in P$, 则存在某个 $i$ 使得 $U_i\in P$.
这样的子集 $P$ 称为完全素滤子 (completely prime filter).
性质
与拓扑空间的关系
每个拓扑空间 $X$ 都给出一个位象: $\mathcal O(X)$ 即是 $X$ 的全体开集构成的偏序集. 该构造给出一个函子
$$
\mathsf{Top} \to \mathsf{Loc}.
$$
当然, 这个函子不是全忠实的, 因为有的拓扑空间的开集很少, 不足以区分各个点. 这个函子在分离性较好的空间 (所谓清醒空间) 上是全忠实的.
指数对象与蕴涵运算
对于位象 $X$, 任取 $a\in \mathcal O(X)$, 由于 $\mathcal O(X)$ 到自身的映射 $a\land -$ 保持余极限, 由伴随函子定理其有右伴随, 记作 $a\Rightarrow -$, 即
$$
(a\land b)\leq c
$$
等价于
$$
b \leq (a\Rightarrow c).
$$
这一事实可理解为: 位象视为 $(0,1)$-范畴, 具有指数对象.
运算 $a\Rightarrow b$ 在逻辑上又可理解为命题之间的 “蕴涵” 运算.
上述结构使得一个位象构成一个 Heyting 代数, 即直觉主义命题演算的模型.
与意象的关系
位象是 $0$-意象, 每个位象 $X$ 都给出一个意象, 即 $\mathcal O(X)$ 上的层范畴 $\operatorname{Sh}(\mathcal O(X))$, 其中 $\mathcal O(X)$ 的覆盖结构是典范拓扑: $\{U_i\leq U\}$ 覆盖 $U$ 当且仅当 $\bigvee_i U_i = U$.
反过来, 每个意象 $\mathcal X$ 也给出一个位象 $X$, 偏序集 $\mathcal O(X) = \mathcal X_{\leq -1}$ 为 $\mathcal X$ 中的 $(-1)$-截断对象的偏序集. 上述构造使得位象的范畴 $\mathsf{Locale}$ 构成意象的范畴 $\mathsf{Topos}$ 的余自反子范畴.
意象的态射 $\mathcal X\to\mathrm{Topos}(\operatorname{Sh}(\mathcal O(Y)))$ 等同于位象的态射 $\mathrm{Locale}(\mathcal X_{\leq -1})\to Y$.
例
Zariski 谱
含幺交换环 $A$ 的谱 $\operatorname{Spec}A$ 作为位象, 可如下描述: $\mathcal O(\operatorname{Spec}A)$ 是 $A$ 的根理想构成的偏序集, 其中元素的交就是理想的交, 并则是理想的并的根理想. 这个位象还可描述为基本开集 $U_a\,(a\in A)$ 在如下关系下生成的位象:
- $U_0 = \bot,U_1=\top$;
- $U_{ab} = U_a \land U_b$;
- $U_{a+b}\leq U_a\lor U_b$.
详见 Zariski 位象.
相关概念
凝聚位象
参考资料
盲人摸象第 2 章