Stone 对偶 [Stone对偶]

观念

$2=\{0,1\}$ 同时具有 Boole 代数和紧 Hausdorff 空间结构; 有两个方向的函子 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{CHaus}}(-,2)\colon \mathsf{CHaus}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Boole} $$ 以及 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Boole}}(-,2)\colon \mathsf{Boole}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{CHaus}. $$ 这就是 Stone 对偶.

定义 Stone 空间为满足如下等价条件的空间 $X$:

• $X$ 是全不连通 (totally disconnected) 紧 Hausdorff 空间, 全不连通是指其连通分支仅有单点集;
• $X$ 是凝聚的 Hausdorff 空间;
• $X$ 落在函子 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Boole}}(-,2)\colon \mathsf{Boole}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{CHaus}$ 的像中.

命题. Stone 对偶给出了等价 $$ \mathsf{Boole}^{\mathrm{op}}\simeq\mathsf{Stone}, $$ 将 $\mathsf{Boole}^{\mathrm{op}}$ 等同于 $\mathsf{CHaus}$ 的一个自反子范畴.

Stone 对偶是代数–几何对偶的一例.