Boole 代数 [Boole代数]
Boole 代数 [Boole代数]
观念
Boole 代数是经典逻辑的语义. 如 Boole 代数中的积 (交) 是逻辑与 $X\wedge Y$, 指数 $Y^X$ 是逻辑蕴含 $X\Rightarrow Y$, 赋值映射是推理法则 $(X\Rightarrow Y)\wedge X \leq Y$ 等等.
定义
Boole 代数是具有补运算的分配格.
Boole 代数与 Boole 环可以相互转化.
性质
谱
记 Boole 代数 $B$ 的谱为 $$ \operatorname{Spec}(B) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Boole}}(B,2). $$ 则有 $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Boole}}(B,2^X) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{Set}}(X,\operatorname{Spec}(B)), $$ 即函子 $2^{(-)}\colon \mathsf{Set}\to\mathsf{Boole}^{\mathrm{op}}$ 与 $\operatorname{Spec}\colon \mathsf{Boole}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 满足伴随关系 $2^{(-)}\dashv\operatorname{Spec}$. 这对伴随给出的单子为 $\mathsf{Set}$ 上的超滤单子.